Интерполяционный многочлен Ньютона

Пусть функция y=f(x) задана таблицей с постоянным шагом h:

где x_i=x₀+ih, i=1, 2, …, n. Такую таблицу называют таблицей с равноотстоящими узлами. Для таблицы с равноотстоящими узлами определяются конечные разности. Конечными разностями первого порядка называются числа, равные приращениям значений функции

Dy ₀ =y ₁ -y ₀, Dy ₁ =y ₂ -y ₁, …, Dy_{n- 1} =y_n-y_{n- 1}.

Конечными разностями порядка k, k³ 2 называются числа, определенные равенствами:

D^ky_m=D^k-1y_m+1 -D^k-1y_m.

Положим , тогда , , …, . Многочлен вида

называется первым интерполяционным многочленом Ньютона. Его удобно использовать для нахождения значения таблично заданной функции в промежуточной точке, расположенной ближе к началу таблицы, причем в качестве точки x₀ следует брать ближайший к ней слева узел интерполяции и положить . Первый многочлен Ньютона в этом случае примет вид

.

Если требуется найти значение таблично заданной функции в точке, расположенной ближе к концу таблицы, то используется второй интерполяционный многочлен Ньютона, который определяется формулой

причем в качестве x_n следует брать ближайший к точке x справа узел интерполяции .

Контрольные вопросы

1. Как ставится задача интерполирования функции?

2. Как обосновывается существование и единственность интерполяционного многочлена? Как связана его степень с количеством узлов интерполяции?

3. Как строятся интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона? В чем особенности этих двух способов интерполяции?

4. В чем различие в применении первой и второй интерполяционных формул Ньютона?

5. Какова оценка погрешности интерполяционных формул, если интерполируемая функция задана аналитически? Как изменяется эта оценка, когда функция задана таблично?

6. Как используется метод интерполирования для уплотнения таблиц функций?

Задание №1. По таблице значений функции

составить интерполяционный многочлен Лагранжа. Построить его график и отметить на нем точки М_i(x_i; y_i), i=0, 1, 2, 3.

Варианты задания 1 приводятся в таблице 3.

Таблица 3

Задание №2. По заданной таблице значений функции вычислить значение этой функции в одном промежуточном значении x с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Найти значение функции в точке x из ее аналитического выражения и вычислить абсолютную погрешность интерполяции.

Задание №3. Уплотнить часть [ a; b ] таблицы заданной функции с шагом H, пользуясь интерполяционными формулами Ньютона.

Для отыскания вариантов к заданиям 2 и 3 используется таблица 4.

Таблица 4

Продолжение таблицы 4

Таблица 4.1 Таблица 4.2 Таблица 4.3 Таблица 4.4

x	lgx+x 2		x	ln 2, 3 x-		x	2, 1 sin 0, 37 x		x	1, 7 - - cos (0, 4-0, 7 x)
1, 3	1, 7777		1, 2	0, 3486		-3, 2	-1, 9449		2, 6	2, 1874
2, 1	4, 5634		1, 9	1, 0537		-0, 8	-0, 6126		3, 3	2, 8637
3, 7	13, 8436		3, 3	1, 7844		0, 4	0, 3097		4, 7	3, 8161
4, 5	20, 3952		4, 7	2, 2103		2, 8	1, 8068		6, 1	3, 8524
6, 1	37, 3387		5, 4	2, 3712		4, 0	2, 0913		7, 5	3, 1905
7, 7	59, 4051		6, 8	2, 6322		6, 4	1, 4673		8, 2	2, 8409
8, 5	72, 3593		7, 5	2, 7411		7, 6	0, 6797		9, 6	2, 6137
8, 8	77, 5473		8, 2	2, 8395		8, 1	0, 3026		10, 1	2, 7486
9, 3	86, 5941		8, 9	2, 9291		8, 7	-0, 1624		10, 9	3, 1850
10, 4	108, 2578		9, 4	2, 9885		9, 5	-0, 7661		11, 3	3, 4776
11, 0	121, 0947		9, 8	3, 0337		10, 2	-1, 2413		12, 1	4, 1172

Таблица 4.5 Таблица 4.6 Таблица 4.7 Таблица 4.8

Указания к выполнению заданий

Задание №2. Для вычисления значения таблично заданной функции в промежуточной точке явный вид многочлена Лагранжа можно не находить. Вычисления проводить по таблице

Далее следует вычислить и . Тогда L_n (x) = П_n+1 (x)× S.

Задание №3. Составить таблицу конечных разностей

В каждом столбце, начиная с четвертого, будет на одно число меньше, чем в предыдущем.

Результаты вычислений значений функции в промежуточных точках расположить в таблице

Интерполяционные формулы Ньютона дают хороший результат в случае, когда t Î [0; 1]. Если внутри отрезка [ a; b ], на котором требуется уплотнить таблицу, находится узловая точка x_i, то на каждом из отрезков [ a; x_i ] и [ x_i; b ] вычисления выполняются отдельно.