Дифференциальных уравнений первого порядка

Рассмотрим задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения y ' =f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀.

Теорема (условие существования и единственности решения). Пусть выполнены условия:

1) функция двух переменных f(x, y) определена в области G, непрерывна в прямоугольнике R= { (x, y) | | x-x₀ | £ a, | y-y₀ | £ b }Ì G и

" (x, y)Î R |f(x, y)| £ M;

2) функция двух переменных f(x, y) имеет частную производную по переменной y в каждой точке прямоугольника R, причем

$ N> 0 " (x, y)Î R |f ' _y(x, y)| £ N.

Тогда существует единственное решение y=j(x) дифференциального уравнения y ' =f(x, y), определенное и непрерывное на отрезке [ x₀-d, x₀+d ], где d=min { a, }, такое, что j(x₀)=y₀.

Метод последовательных приближений

Если выполнены все условия теоремы, то для решения задачи Коши можно использовать метод последовательных приближений:

y₀(x)=y₀,

y_n(x)=y₀+ , n=1, 2, ….

Для оценки погрешности используется формула

| y_n(x)-j(x) | £ .

Метод последовательных приближений решения задачи Коши является приближенно аналитическим. Существуют и другие приближенные методы решения дифференциальных уравнений, среди которых особо выделяют численные методы. Пусть на отрезке [ x ₀, x_n ] существует единственное решение задачи Коши. Рассмотрим класс численных методов Рунге-Кутта. Разобьем отрезок [ x ₀, x_n ] точками x₀, x₁, x₂, …, x_n на n равных отрезков длины h. Реализация численных методов сводится к последовательному нахождению приближенных значений y₁, y₂, …, y_n в точках x₁, x₂, …, x_n, для чего на каждом шаге вычисляется поправка Dy_i, и тогда

y_i+1=y_i+Dy_i, i=0, 1, 2, …, n -1.

Численные методы Рунге-Кутта отличаются друг от друга способом вычисления поправки на шаге.

При вычислении последовательных значений y₁, y₂, …, y_n происходит накопление погрешности. Для приближенной оценки погрешности применяют обычно двойной пересчет с шагом h и с шагом , обозначая при этом приближенное значение решения в точке x_i, полученное с шагом h, за y_i, а улучшенное значение, полученное с шагом , за .

Метод Эйлера-Коши

Dy_i= × (f(x_i, y_i)+f(x_i+1, )), где = y_i+h× f(x_i, y_i).

Абсолютную погрешность метода определяют из приближенного равенства

| -y(x_i) |» | - y_i |, i=1, 2, …, n.