Интегрирование

Численное дифференцирование

Пусть функция f(x) задана таблицей с равноотстоящими узлами

где x_i=x₀+ih, i=1, 2, …, n. Для нахождения значения производной функции в промежуточной точке, расположенной ближе к началу таблицы, функцию f(x) заменяют приближенно первым интерполяционным многочленом Ньютона:

,

где (заметим, что в качестве x₀ выбирается ближайший к точке x слева узел интерполяции). Продифференцировав приближенное равенство по переменной t, получим приближенную формулу для вычисления производной таблично заданной функции в промежуточной точке:

.

Для вычисления производной в точке, расположенной ближе к концу таблицы, следует использовать второй интерполяционный многочлен Ньютона. Применяя тот же прием, получим:

.

Численное интегрирование

Пусть требуется вычислить интеграл . Отрезок интегрирования [ a; b ] разобьем на n равных частей длиной h точками: x₀=a, x₁, x₂, …, x_n=b. Обозначим y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), …, y_n=f(x_n).

Формула трапеций

На каждой части заменим подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона первой степени. Геометрически это означает, что на каждой из частей кривая y=f(x) заменяется отрезком прямой. Выполнив вычисления, получим следующую приближенную формулу:

которая называется общей формулой трапеций.

Если остаточный член общей формулы трапеций обозначить R, то справедлива следующая оценка погрешности:

, где .

Формула Симпсона

Пусть n – число четное. Объединив частичные отрезки разбиения по два, на каждом таком объединении подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом Ньютона второй степени. Геометрически это означает, что на каждом объединении кривая y=f(x) заменяется параболой. Приближенная формула для вычисления интеграла примет вид

.

Эта формула называется общей формулой Симпсона или формулой парабол. Для остаточного члена общей формулы Симпсона справедлива следующая оценка погрешности:

, где .

В вычислительной практике используется другой способ оценки погрешности: вычисления проводятся дважды с шагом h и шагом 2h. Если результаты вычислений обозначить S_h и S_2h, то практически верными считают все совпавшие цифры у значений S_h и S_2h.

Контрольные вопросы

1. В чем особенность задачи численного дифференцирования?

2. Как влияет на точность численного интегрирования величина шага h? Каким способом можно прогнозировать примерную величину шага для достижения заданной точности интегрирования?

3. Можно ли добиться неограниченного уменьшения погрешности интегрирования путем последовательного уменьшения шага?

Задание №1. Вычислить значение производной в точке x функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Ньютона. Найти значение производной функции в точке x из ее аналитического выражения и вычислить абсолютную погрешность.

Для отыскания варианта к заданию 1 используется таблица 5.

Таблица 5

Задание №2. Вычислить интеграл от заданной функции f(x) на отрезке [ a, b ] по формулам трапеций и Симпсона при делении отрезка на 12 равных частей. Повторить вычисления при делении отрезка на 6 равных частей. Записать ответ каждого метода, сохранив только верные цифры.

Варианты задания 2 приводятся в таблице 6.