Обратное интерполирование

В практике вычислений часто встречается следующая задача. Функция f(x) задана своими значениями y_i в точках . Требуется определить значение аргумента , соответствующее заданному значению функции f(x), т.е. найти корень уравнения

f(x)=y^* , (4.30)

принадлежащий интервалу . Предполагается, что интервал настолько мал, что – единственный.

Поставленная задача называется задачей обратного интерполирования. Один из возможных путей решения этой задачи заключается в следующем. Функцию f(x) аппроксимируем ее интерполяционным полиномом P_n(x), а уравнение (4.30) заменяем уравнением

P_n(x)=y^* . (4.31)

Находим действительный корень уравнения (4.31), принадлежащий интервалу . Практически мы получаем лишь приближенное решение уравнения (4.31) – точку . И теперь полагаем, что .

Оценим погрешность такого решения. Пусть суммарная погрешность интерполирования есть D, т.е.

, (4.32)

а погрешность решения уравнения (4.31) есть , т.е.

. (4.33)

Тогда приращение функции в точке можно представить как

Отсюда, принимая во внимание, что

,

имеем

.

Предположив теперь, что

,

и используя оценку (4.32), получим

. (4.34)

Далее,

.

Следуя оценкам (4.33) и (4.34), окончательно находим

. (4.35)

Таким образом, как решение задачи обратного интерполирования, так и погрешность (4.35) определяются двумя процессами: построением интерполяционного полинома и решением уравнения (4.31), т.е. нахождением корней интерполяционного полинома.

Может показаться, что эти два момента ничем не связаны между собой. Однако это совсем не так. Следует иметь в виду, что увеличение степени полинома, с одной стороны, уменьшает погрешность D, с другой – увеличивает трудоемкость решения уравнения (4.31). Поэтому степень интерполяционного полинома должна быть наименьшей при условии достижения требуемой точности [1-3].

При практическом решении задачи обратного интерполирования на равномерной сетке узлов в качестве интерполяционных полиномов обычно используются полиномы Стирлинга и Бесселя. В этом случае уравнение (4.31), записанное с переменной , приводится к виду и решается методом итераций.

Например, при использовании полинома Стирлинга имеем

. (4.36)

В качестве начального приближения t₀ обычно принимается t₀ = 0. После того, как t^* – решение уравнения (4.36) - получено, x^* определяется по формуле

.

Аналогичным образом можно получить решение задачи обратного интерполирования при помощи полинома Бесселя или первого и второго интерполяционных полиномов Ньютона.

Рассмотрим еще один подход к решению задачи обратного интерполирования, основанный на существовании гладкой функции g(y), обратной к f(x).

Пусть функция g(y) непрерывна вместе с достаточным количеством своих производных на минимальном интервале, содержащем значения . В этом случае определение x^* эквивалентно вычислению обратной функции g(y), заданной своими значениями x_i в узлах y_i, в точке y = y^*, так как

.

Таким образом, задача обратного интерполирования сведена к задаче интерполирования обратной функции g(y).

Например, если обратную функцию g(y) приближать интерполяционным полиномом Лагранжа, то решение поставленной задачи в этом случае будет иметь вид

.

Оценка остаточного члена будет такая же, как и при прямом интерполировании:

,

где – производная (п+1) -го порядка обратной функции в точке x, принадлежащей интервалу между минимальным и максимальным y_i, i=0, 1, …, n. Оценка же вычислительной погрешности усложнится, поскольку теперь выражение L_n(y^*) нелинейно зависит от приближенных величин y_i, i=0, 1, …, n.

Приведенный способ решения задачи обратного интерполирования является более эффективным, нежели прием, содержащий одним из этапов решение уравнения. Особенно он удобен, если решение задачи обратного интерполирования требуется найти для достаточно большого числа значений y^* или когда требуется получить явное выражение для корня уравнения (4.30). Недостатком рассмотренного метода является требование гладкой обратной функции, что далеко не всегда выполнимо (например, это требование не выполняется для немонотонных функций).