Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Разделенные разности с повторяющимися (кратными) узлами






 

Зададимся последовательностью совокупностей точек

 

удовлетворяющих условию: все точки – различны. В частности, можно положить

,

где – малая величина. Построим по всем этим точкам разделенную разность порядка . Определим

(5.3)

Рассмотрим сначала случай, когда под знаком разделенной разности левой части (5.3) повторяется только один узел xi и разделенная разность порядка ki-1 вычисляется только по этому повторяющемуся узлу. Согласно определению (5.3)

 

По формуле связи (4.13) между разделенной разностью и производной имеем

(5.4)

где x – точка, принадлежащая наименьшему отрезку, содержащему все точки . Перейдя в равенстве (5.4) к пределу при , получим

(5.5)

Итак, если при производная непрерывна, то существуют разделенные разности

 

 

Но это обеспечивает также существование разделенной разности с кратными узлами левой части (5.3), т.к. все остальные разделенные разности, необходимые для ее вычисления, находятся путем последовательного применения рекуррентных формул

и их обобщений. Чтобы не проводить громоздкого вывода для общего случая формулы (5.3), рассмотрим иллюстративную таблицу. Приведенные в этой таблице вычисления переносятся на общий случай без всяких принципиальных затруднений.

Требуется найти , если заданы .

 

№ строк xi f(xi) f[xi, xj] Разности II порядка III пор. IV пор V пор VI пор
  x0 f(x0)            
               
  x0 f(x0)   f[x0; x0, x1]        
      f[x0, x1]   f[x0, x0; x1, x1]      
  x1 f(x1)   f[x0; x1, x1]   f[x0, x0; x1, x1; x2]    
      f’(x1)   f[x0, x1; x1; x2]   f[x0, x0; x1; x1; x2, x2]  
  x1 f(x1)   f[x1, x1; x2]   f[x0; x1, x1; x2; x2]   f[x0, x0; x1; x1; x2, x2, x2]
      f[x1, x2]   f[x1, x1; x2, x2]   f[x0; x1, x1; x2, x2, x2]  
  x2 f(x2)   f[x1; x2, x2]   f[x1, x1; x2, x2, x2]    
      f’(x2)   f[x1; x2; x2, x2]      
    x2   f(x2)          
      f’(x2)          
  x2 f(x2)            

 

Левый столбец таблицы – для нумерации строк, верхняя строка – для нумерации столбцов. В первом столбце в строках с четным номером приведены аргументы искомой разделенной разности. Во втором столбце в тех строках, что и аргументы, помещены соответствующие значения функции. Третий столбец предназначен для разделенных разностей первого порядка. Они размещаются в строках с нечетными номерами между строк, в которых находятся соответствующие узлы (аргументы) и значения функции. Если узлы повторяются, как это имеет место для строк 1, 5, 9, 11, то сюда помещают значение первой производной. В строках 3, 7 помещены обычные разделенные разности первого порядка. Столбец 4 предназначен для разделенных разностей второго порядка. За исключением последней из них (строка 10), где

,

они находятся обычным способом по рекуррентной формуле. Так,

.

Аналогично и для остальных разностей. В пятом, шестом, седьмом и восьмом столбцах находятся, соответственно, разделенные разности третьего, четвертого, пятого и шестого порядков. Они вычисляются по обычным рекуррентным формулам. Например,

.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.