Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями

Запишем интерполяционный полином Лагранжа в следующем виде:

(4.15)

где L₀(x) = f(x₀)=y₀, а L_k(x) – интерполяционный полином Лагранжа степени k, построенный по узлам x₀, x₁, …, x_k. Тогда есть полином степени k, корнями которого являются точки x₀, x₁, …, x_k-1. Следовательно, его можно разложить на множители

(4.16)

где A_k – постоянная.

В соответствии с (4.14) получим

(4.17)

Сравнивая (4.16) и (4.17) получим, что и (4.15) примет вид

(4.18)

который носит название интерполяционного полинома Ньютона с разделенными разностями.

Этот вид записи интерполяционного полинома более нагляден (добавлению одного узла соответствует появление одного слагаемого) и позволяет лучше проследить аналогию проводимых построений с основными построениями математического анализа.

Остаточная погрешность интерполяционного полинома Ньютона выражается формулой (4.8), но ее, с учетом (4.13), можно записать и в другой форме

,

т.е. остаточная погрешность может быть оценена модулем первого отброшенного слагаемого в полиноме N_n(x^*).

Вычислительная погрешность N_n(x^*) определится погрешностями разделенных разностей. Узлы интерполяции, лежащие ближе всего к интерполируемому значению x^*, окажут большее влияние на интерполяционный полином, лежащие дальше – меньшее. Поэтому целесообразно, если это возможно, за x₀ и x₁ взять ближайшие к x^* узлы интерполирования и произвести сначала линейную интерполяцию по этим узлам. Затем постепенно привлекать следующие узлы так, чтобы они возможно симметричнее располагались относительно x^*, пока очередной член по модулю не будет меньше абсолютной погрешности входящей в него разделенной разности.