Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Интерполирование с кратными узлами и сплайны
Рассмотрим теперь более общую постановку задачи интерполирования полиномами. В узлах , среди которых нет совпадающих, известны значения функции f(xi) и ее производных до порядка ki-1 включительно, . Таким образом, информация о функции f(x) задается следующим образом: (5.1) Здесь значения для различных i, вообще говоря, различны, но допустим случай, когда . Следовательно, всего задано величин. Требуется построить алгебраический многочлен степени , для которого выполняются условия . (5.2) Многочлен , удовлетворяющий условиям (5.2), называется интерполяционным полиномом Эрмита для функции f(x) или интерполяционным полиномом с кратными узлами. Числа называются кратностями узлов соответственно. Интерполяционный полином определяется единственным образом. В самом деле, предположив противное, будем иметь два полинома степени m, удовлетворяющих условию (5.2). Тогда их разность удовлетворяет соотношениям т.е. точки являются корнями полинома кратности соответственно. Мы получили, что многочлен степени m имеет m+1 корней. Следовательно, . Существование интерполяционного полинома Эрмита докажем, получив для него явное выражение. Далее предположим, что функция f(x) непрерывно дифференцируема (m+1) раз.
|