Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
До виконання завдання № 9
Основи символічного методу розрахунку електричних ланцюгів змінного струму. Символічний метод, що ґрунтується на використанні комплексних чисел, знайшов широке застосування для розрахунку складних ланцюгів змінного струму. Комплексне число А складається з дійсної а і уявної b частин: A = а + jb. Комплексне число на комплексно-числовій площині можна зобразити вектором. Проекція вектора на вісь дійсних величин (вісь абсцис) відповідає дійсній частині комплексного числа а. Проекція вектора на вісь уявних величин j (вісь ординат) відповідає коефіцієнтові при уявній одиниці в, j — уявна одиниця являє собою поворотний множник, добуток на який означає поворот вектора на 90° проти годинникової стрілки (тобто в додатньому напрямку). Причому j2 = - 1.
j j a +1 b A = a + j b φ
φ A = a –jb
0 a +1 - b
j - a + 1 b φ
φ -b -a +1 A = - a + j b A = - a – j b Рис. 9.4
Комплексне число А можна подати у трьох формах: алгебраїчній, тригонометричній, показниковій
Алгебраїчна – А = а + jb; Тригонометрична – А = r соs φ + j r sin φ = r (Cos φ + j Sin φ) Показникова – А = r еjφ Модуль комплексного числа r відповідає довжині вектора комплексного числа.З векторних діаграм видно, що модулі комплексних чисел знаходяться за теоремою Піфагора: (1) Кут φ, що утворюється між вектором та додатньою частиною дійсної вісі (вісі абсцис) називається аргументом комплексного числа. Аргумент комплексного числа визначається виразом . (2) Для того, щоб перевести комплексне число з алгебраїчної форми в тригонометричну, потрібно визначити косинус та синус аргументу φ:
(3) (4)
З тригонометричної форми комплексного числа легко перейти до показникової.Для цього визначають модуль та аргумент комплексного числа за формулами (1), (3) та (4).
Приклад 9.1. Дано: а = 3; в = 4. Комплексне число в алгебраїчній формі має вигляд: А = 3 + j4 Знаходимо модуль числа:
Аргумент числа:
Комплексне число в тригонометричній формі: А = 5 (Соs 53o10 + j Sin 53o10) Побудуєм вектор комплексного числа: j 4 А = 5
53о10 + 1 Рис. 9.5. Комплексні числа можна додавати, віднімати, множити та ділити. Додавати та віднімати простіше у алгебраїчній формі, а множити та ділити - у показниковій.
Приклад 9.2. Знайти суму та різницю двох комплексних чисел А = 2 + j 3; B = 6 – j 9.
Сума чисел: А + В = 2 + j 3 + 6 – j 9 = 8 – j 6; Різниця чисел: А – В = 2 + j 3 – 6 – (- j 9) = - 4 + j 12;
Приклад 9.3.
Знайти добуток та частку чисел А = 4 + j 3, B = 6 – j 8.
Переведемо комплексні числа А і В із алгебраїчної форми в показникові:
Приклад 9.4. Перевести комплексне число А з показникової форми в алгебраїчну. Спочатку переведемо показникову форму числа в тригонометричну, а потім в алгебраїчну: розрахункового завдання № 9 розглянемо на прикладі 9.5.
|