Похідні основних елементарних функцій. 1. Похідна степеневої функції.

1. Похідна степеневої функції.

.

(на підставі третьої супутньої границі). Зокрема:

, .

2. Похідна показникової функції.

(на підставі 2–ї супутньої границі). Зокрема при отримуємо:

.

Тобто функція не змінюється при диференціюванні. Дуже цікавий результат. З цього приводу є такий старий анекдот, який розповідають студентам лектори з вищої математики на протязі десятків років. Один математик якось потрапив у будинок для божевільних з діагнозом «манія диференціювання»: він всіх диференціював направо і наліво. Оце ґвалтування продовжувалось поки в той самий будинок не потрапив інший математик. Перший математик до нього підбігає і кричить: «Я тебе зараз продиференцюю!» А той відповідає: «А я тебе не боюся. Я ».

3. Похідна логарифмічної функції.

В п. 2 ми вивели, що . Звідси випливає, що

.

4. Похідні тригонометричних функцій.

Як показали в п. 2: . Звідси:

.

Користуючись формулою для похідної частки, маємо:

.

Аналогічно отримуємо:

.

5. Похідні обернених тригонометричних функцій.

Користуючись теоремою про похідну оберненої функції, виведемо формули для похідних функцій .

Для функції оберненою є функція , область визначення якої звужена до відрізку . Тому маємо:

, оскільки при .

Аналогічно:

.

Для функції оберненою є функція , область визначення якої звужено до інтервалу . Тому:

.

Аналогічно отримуємо:

.

Зведемо тепер всі формули до єдиної таблиці.

Таблиця похідних основних елементарних функцій.