Неперервністю.

Введемо таке означення.

Означення. Функція називається диференційовною у точці , якщо її приріст може бути подано у вигляді:

, де від не залежить, а величина залежить і прямує до нуля разом з , тобто .

Звідси випливає, що

при .

Приклад. Доведемо, що функція диференційовна у будь якій точці числової прямої. Дійсно, розглянемо приріст нашої функції у довільній точці :

.

Таким чином: , і , тобто функція диференційовна у точці . Внаслідок довільності це означає, що функція диференційовна у будь якій точці числової прямої.

Зауважимо, що функція є не що інше, як похідна функції , тобто , як ми покажемо нижче. Чи випадково це? З’ясовується, що ні. Поняття диференційовності функції у точці тісно пов’язано з існуванням у цій точці похідної, що встановлюється наступною теоремою.

Теорема. Для того, щоб функція була диференційовною у точці , необхідно і достатньо, щоб у цій точці існувала скінченна похідна .

Доведення. Доведемо спочатку достатність. Нехай у точці існує

.

Тоді на підставі теореми про розкладання функції, яка має границю, на сталу і нескінченно малу (див. розділ «Вступ до аналізу») можемо записати:

, де прямує до нуля разом з . З цієї рівності отримуємо:

, що й треба було довести. Тут .

Тепер доведемо необхідність. Нехай:

, де при . Поділимо обидві частини цієї рівності на . Маємо:

.

Перейдемо до границі при :

.

У лівій частині рівності стоїть похідна . Тобто довели потрібне, причому дійсно коефіцієнт дорівнює .

Таким чином диференційовність функції однієї незалежної змінної у точці еквівалентно існуванню у цій точці скінченної похідної. Тому замість того, щоб казати «знайти похідну функції», кажуть «продиференціювати функцію». Але, як ми побачимо у розділі «Диференціальне числення функцій багатьох змінних», для функцій, які залежать від декількох незалежних змінних, диференційовність функції у точці та існування у цій точці похідних не еквівалентно одне одному. Тому й терміни різні.

Поняття диференційовності функції у точці пов’язано також з поняттям неперервності функції у цій точці.

Теорема. Якщо функція диференційовна у точці , то вона неперервна у цій точці.

Доведення. Оскільки функція диференційовна у точці , її приріст у цій точці має вигляд:

, де при . Переходячи у цій рівності до границі при , отримуємо, що , що й означає неперервність функції у точці .

Зауваження. Обернене твердження до цієї теореми несправедливе, тобто з неперервності функції у точці не випливає її диференційовність у цій точці. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розглянемо функцію (рис. 7).

Рис. 7.

Ця функція неперервна у кожній точці числової прямої, у тому числі у точці . Тем не менш, ця функція не є диференційовною у цій точці. Дійсно, у Прикладі 1 п.3 було показано, що дана функція в точці не має похідної, а отже не є й диференційовною. З геометричної точки зору це означає, що у точці не існує дотичної до графіка функції.

Приклад 2. Розглянемо функцію . Ця функція також неперервна на всій числовій прямій, у тому числі у точці (рис. 5). У Прикладі 2 п. 3 було показано, що скінченної похідної в точці ця функція не має. Отже вона не є диференційовною в точці .

Якщо неперервна функція диференційовна у точці, то у цій точці існує невертикальна дотична; графік функції є гладкою лінією. Тому диференційовну функцію іноді називають гладкою. Якщо диференційовність у деяких точках відсутня, то на графіку функції в цих точках можуть виникати куточки, заломи (рис. 8).

Рис. 8.

Німецьким математиком К. Вейєрштрассом (1815 – 1897) було побудовано приклад неперервної функції, яка не є диференційовною у жодній точці. Це собі навіть важко уявити: суцільна лінія, яка у кожній своїй точці має залом. Деяке уявлення про те, як це можливо, може дати наступний приклад. Розглянемо рівносторонній трикутник і поділимо кожну з його сторін на три рівні частини. На кожній з середній з них з зовнішнього боку добудуємо ще рівносторонній трикутник (рис. 9):

Рис. 9.

Кожен з відрізків цієї шестикутної зірки знову поділимо на 3 рівні частини і на кожній з них з зовнішнього боку добудуємо рівносторонній три кутник. Отримаємо таку фігуру (рис. 10):

Рис. 10.

На кожному з отриманих таким чином відрізків знов зробимо таку ж саму операцію і так далі.

На рис. 10 зображено фігуру, яка отримується після 5 кроків:

Рис. 11.

Існують комп’ютерні програми, які дозволяють будувати таку фігуру для будь якого числа кроків, деякі з них, зокрема можна знайти в Інтернеті.

Цей процес можна продовжувати нескінченно. У наслідку отримується крива лінія, яку називають сніжинкою Кох за ім’ям Гельге фон Кох (1870–1924), яка у 1904 році вперше побудувала її. І ця лінія у кожній точці має залом. Лінії такого типу відносяться до так званих фрактальних множин. До них також відносяться відомі канторова множина, килим та губка Серпінського та інші. Останнього часу інтерес до цих множин постійно зростає. Вони знаходять свої застосування у багатьох галузях знань^[1].

Існують і більш складні приклади ситуації, коли функція неперервна у точці, але не є в цій точці диференційовною. Розглянемо функцію:

Очевидно, що , оскільки при функція є добутком нескінченно малої функції на обмежену . Отже функція неперервна у точці . Покажемо, що ця функція не має навіть однобічних похідних у точці . Розглянемо:

.

Цієї границі, як відомо, не існує (див. «Вступ до аналізу»), отже не існує правої похідної в точці . Аналогічно не існує й лівої. Таким чином функція не є диференційовною у точці .

Графік цієї функції у околі точки навіть неможливо повністю накреслити. На рис. 12 показано графік цієї функції, наближено побудований за допомогою програми Maple V.

Рис. 12.