Означення похідної функції в точці.

А тепер ми можемо відійти від конкретного змісту задачі і розглянути її в абстрактному сенсі.

Нехай на деякому числовому проміжку задано функцію . Візьмемо довільну точку і надамо приросту такого, щоб точка також належала проміжку . Тоді функція отримає приріст .

Означення. Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля.

Похідна позначається одним з символів:

.

Таким чином, за означенням:

.

Користуючись цим означенням, розв’язки задач 1–5, що розглянуто вище, можна тлумачити так:

1. Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у точці дорівнює похідній у цій точці:

.

У цьому полягає геометричний зміст похідної.

2. Миттєва швидкість точки в момент часу дорівнює похідній від її координати в цей момент часу:

.

У цьому полягає механічний зміст похідної. У задачах механіки похідну частіше позначають точкою: .

3. Лінійна густина стрижня у точці з координатою дорівнює похідній від маси частини стрижня, що відповідає проміжку :

.

4. Швидкість хімічної реакції у момент часу дорівнює похідній від кількості речовини у цей момент часу:

.

5. Інтенсивність виробництва у момент часу дорівнює похідній від обсягу виробництва у цей момент часу:

.

Розглянемо приклади.

1. Знайти похідну функції (сталої).

Маємо для довільного :

.

Тобто похідна сталої функції дорівнює нулю.

2. Знайти похідну функції .

Маємо для довільного :

.

3. Знайти похідну функції . Знайти значення цієї похідної у точці .

Маємо для довільного :

.

Зокрема, якщо , то

.

4. Знайти похідну функції .

Маємо для довільного :

(внаслідок першої важливої границі і неперервності функції ).

5. Знайти похідну функції .

Маємо для довільного :

(на підставі третьої супутньої границі – див. розділ «Вступ до аналізу»).

Як ми відповімо на таке питання: чому дорівнює похідна функції ? Деякі не зовсім уважні студенти, керуючись останнім прикладом, відповідають, що похідна дорівнює . А як вважаєте ви?