Однобічні та нескінченні похідні.

За аналогією з однобічними границями та однобічною неперервністю вводяться поняття однобічних похідних – лівої та правої.

Означення. Якщо функція неперервна зліва в точці , та існує границя

,

то ця границя називається лівою похідною функції в точці , та позначається як .

Якщо функція неперервна справа в точці , та існує границя

,

то ця границя називається правою похідною функції в точці , та позначається як .

Таким чином, за означенням:

, .

Похідна функції в точці існує тоді і тільки тоді, коли існують обидві похідні , і вони співпадають. При цьому:

.

Приклад 1. Знайти ліву та праву похідні функції в точці .

Маємо:

,

.

Зауважимо, що оскільки , то похідної функції в точці не існує.

Розглянемо тепер поняття нескінченної похідної. Нехай функція неперервна в точці , і нехай:

.

Тоді кажуть, що функція має в точці нескінченну похідну. Пряма у цьому випадку називається дотичною до графіка функції в точці .

Якщо , то кажуть, що функція має в точці похідну, яка дорівнює . У цьому випадку однобічні границі та називають відповідно лівою та правою похідною функції в точці і позначають також як та . Таким чином, якщо , то , і навпаки. Відповідно, якщо , то , і навпаки.

Приклад 2. Розглянемо функцію . Знайдемо:

.

В точці (0; 0) дотичною до графіка даної функції є пряма лінія (рис. 5).

Рис. 5.

У випадку, коли , або , кажуть, що функція має в точці нескінченну похідну певного знаку.

Розглянемо тепер випадок, коли , але не виконано жодну з умов , . Тоді кажуть, що не є нескінченістю певного знаку. Наприклад, така ситуація має місце, якщо , а . Таку властивість має, наприклад, функція в точці (рис. 6). Дійсно:

, .

Рис. 6.