Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Огибающая семейства кривых на плоскости
Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых на плоскости, заданное уравнением Здесь С – некоторый параметр, меняющийся в промежутке . Например, — семейство окружностей радиуса 1 с центрами на оси Ох. Огибающим отрезком Г семейства кривых называется простой отрезок для каждой точки которого можно указать определённую кривую семейства, имеющую с ним общую точку, в которой отрезок и кривая семейства касаются друг друга.
ция. Будем считать также, что нигде в промежутке , а также нигде не обращается в константу. По определению огибающей через любую точку проходит единственная кривая семейства , поэтому можно предположить, что справедливо условие . Причём это равенство является тождеством, т.к. выполняется для всех . А тождество можно почленно дифференцировать. В результате этого для любой точки огибающей получим соотношение: . Но по определению огибающей угловой коэффициент касательной должен равняться угловому коэффициенту касательной к кривой семейства в той же самой точке, т.е. , откуда . В и речь идёт об одной и той же точке плоскости, поэтому из с помощью получаем , откуда, учитывая, что , получаем: . Итак, любая точка огибающей есть в то же время обыкновенная точка на кривой семейства с параметром , при этом выполнено условие. До сих пор мы предполагали, что на кривых семейства точки заведомо обыкновенные, т.е. выполнено (мы в выкладках предполагали, что ). Oткажемся от этого ограничения, т.е. будем рассматривать геометрическое место всевозможных особых точек всевозможных кривых семейства. Тогда мы будем иметь:
точек в достаточно малых кусках, следовательно, можно считать, что сохраняет постоянный знак (т.е. ) Итак, мы имеем: Система может быть и несовместна (т.е. у семейства кривых нет особых точек). Например, для семейства парабол последнее из уравнений имеет вид . Система может определять и отдельные особые точки. Например, для семейства окружностей последние два уравнения системы имеют вид Её решение даёт , т.е. окружность радиуса 0 — единственная особая точка, являющаяся изолированной особой точкой. Нас же интересует случай существования отрезка особых точек. Продифференцируем первое из равенств по х: . Первые два слагаемых в силу справедливости системы обращаются в 0. В результате мы получаем соотношение, которое ранее было получено для огибающей семейства кривых. Т.о. любая точка отрезка особых точек есть особая точка кривой семейства с параметром , для которого выполняется условие. Рассмотрим теперь некоторое геометрическое место особых точек , для каждой из которых можно указать значение параметра С семейства, удовлетворяющее сразу двум условиям: (так называемая дискриминантная кривая). Отрезком дискриминантной кривой называется такой простой отрезок вдоль которого так указаны значения , что тождественно удовлетворяются уравнения. Другими словами, отрезок дискриминантной кривой – это её достаточно малый кусок, для которого уравнения можно разрешить относительно у и С: . Теорема. Отрезки дискриминантной кривой, свободные от особых точек кривых семейства, есть огибающие отрезки. Доказательство. Продифферецируем по х первое из тождеств: . Учитывая второе тождество, получим: . Т.к. точка – обыкновенная, то для неё , поэтому из последнего равенства имеем: , что означает, что касательные к отрезку и к семейству кривых совпадают. А т.к. в каждой точке плоскости касательные к кривым совпадают, мы имеем огибание. Пример. Дано семейство кривых . Составим уравнение дискриминантной кривой, присоединяя к заданному семейству уравнение или . Полученное равенство подставим в уравнение: или . Мы имеем два случая: 1. С=х, тогда и у=х 2. , тогда . После этого проверяем условия . Для нашего семейства эти условия выглядят так: Эти условия выполнены для ветви 1. Следовательно, она содержит все отрезки особых точек. Для ветви 2 эти условия не выполнены, следовательно, это есть огибающая. Читателю рекомендуется нарисовать само семейство, дискриминантную кривую (ветвь 1) и огибающую (ветвь 2).
|