Обыкновенные и особые точки плоской кривой

Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению , называется кривой (рис. 1). Простой отрезок кривой – геометрическое место точек, координаты которых хотя бы в одной прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют уравнению , (см. рис. 2).	Рис. 1 А x
Точка М называется обыкновенной точкой кривой, если существует прямоугольник, содержащий эту точку, в окрестности которой часть кривой, заключённой в этот прямоугольник, будет простым отрезком кривой (точка С на рис. 1). Если такого прямо-угольника не существует, точка называется особой (точки А и В на рис. 1). Теорема. Если в точке справедливо неравенство , то точка А – обыкновенная.	a b Рис. 2 х

Доказательство. Пусть для определённости . Т.к. точка А лежит на кривой, то . Из теоремы о существовании неявной функции следует, что существует прямоугольник, содержащий внутри себя точку А такой, что внутри этого прямоугольника уравнение можно представить в виде (т.е. можно однозначно разрешить относительно у). Т.o. этот прямоугольник вырезает из нашей кривой простой отрезок этой кривой. Отсюда следует, что точка А – обыкновенная.

Замечание. Если у нас , но , то можно представить в виде — также простой отрезок кривой.

Условие является достаточным признаком обыкновенной точки. Но не является необходимым. Например, рассмотрим кривую, заданную уравнением . Это парабола. Точка лежит на параболе. Она, очевидно, является обыкновенной, т.к. . Умножим обе части уравнения параболы на выражение . Уравнение примет вид: . Точка по-прежнему останется обыкновенной, но в этой точке уже .