Ранг матрицы. Элементарные преобразования

В прямоугольной матрице A[m ´ n] вычёркиванием каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратную подматрицу k-го порядка.

Определители таких подматриц называют минорами k-го порядка.

Например, у матрицы А[3 ´ 4] можно получить подматрицу 1-, 2- и 3-го порядка.

Определение 1. Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг обозначается rang A или r(A).

Свойства ранга матрицы:

1. Ранг матрицы A[m ´ n] не превосходит меньшего из её размеров (r_A ≤ min [m ´ n]).

2. Ранг матрицы А равен 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны 0.

3. Для квадратной матрицы n-го порядка ранг равен n тогда и только тогда, когда определитель матрицы отличен от 0.

Пример: Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Перебор всех миноров, в поиске отличного от нуля, – задача, связанная с большими вычислениями. Для облегчения используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы. Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

1) Умножение всех элементов строк (столбцов) матрицы на число, не равное нулю.

2) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умножая на любое число.

3) Перестановка строк.

4) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

5) Транспонирование матрицы.

Теорема: Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Пример: Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Если для двух матриц А и В справедливо r(A) = r(B), то матрицы – эквивалентны.