Минор и алгебраические дополнения

Определение 5. Минором M_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, полученный путём вычёркивания
i-той строки и j-того столбца.

Пример:

Определение 6. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j.

A_ij = (-1)^i+j × M_ij.

Соответствующее алгебраическое дополнение и минор отличаются только знаком, причём, A_ij = M_ij, если сумма (i + j) – чётное число; A_ij = -M_ij, если (i + j) – нечётное число.

Пример: Найти А₁₂.

Для любого определителя имеет место разложение по строке (столбцу) вида

Аналогичное разложение имеет место и для столбцов

Это свойство сводит вычисление определителя n-го порядка к вычислению n-определителей (n-1) порядка.

Пример: