Определители n-го порядка

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка.

.

Из общего числа элементов этой матрицы выберем набор, состоящий из n элементов, таким образом, чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Любой такой набор можно упорядочить, записав сначала элементы из первой строки, затем из второй и т.д., т.е. .

Номера столбцов (j₁, j₂, …, j_n) образуют при этом перестановку из n чисел: 1; 2; …, n.

Определение 3. Перестановками называют соединение из n элементов по n, где n принадлежит натуральным числам, отличающихся друг от друга только порядком.

Обозначают буквой P_n = n! = 1 × 2 × 3 × … × n.

Два числа образуют в перестановке инверсию, если большее число стоит перед меньшим.

Пример: 1) перестановка: (2; 1; 3);

инверсия: (2; 1);

2) перестановка: (3; 2; 1);

инверсия: (3, 2), (2; 1), (3; 1).

Обозначим r(J) количество инверсий в перестановке. Перестановка называется чётной, если число инверсий в ней чётно, в противоположном случае – нечётной.

Определение 4. Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n-элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Причём, перед произведением ставится «+», если перестановки, образуемые первыми и вторыми индексами элементов одинаковой чётности и «–» – если противоположной чётности.