Встановлення характеру взаємного розміщення двох прямих у просторі за канонічними рівняннями цих прямих відносно довільної афінної системі координат.

Скалярний добуток векторів, його алгебричні та геометричні властивості. Обчислення скалярного добутку векторів через координати даних векторів відносно ортонормованого базису. Застосування скалярного добутку векторів до розв’язання задач евклідової геометрії.

Отрезок прямой, для которого указано, какая из двух ограничивающих его точек является началом и какая концом, называется направленным отрезком.

Скалярное произведение векторов а и в называется число, которое обозначается а•в и равно произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними.

Алгебраические свойства:

1.а•в=в•а коммутативность

2.(λ а)•в=.λ (а•в), а• (λ в)=.λ (а•в), где λ - R ассоциативность

3. а•(в+с)= а•в+а•с дистрибутивность

4. а•в=0 когда а в (cos=90=0) признак

5. а•а= произведение вектора на себя (где нельзя снять радикал, если +острый угол, если – тупой)

Геометрические свойства:

1. Длина вектора а находится по формуле: .

2. Величина угла между ненулевыми векторами находится по формуле:

Отсюда заключаем, что:

— ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: ;

— угол между ненулевыми векторами и острый тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно;

— угол между ненулевыми векторами и тупой тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Скалярное произведение векторов через координаты данных векторов

то

Пример:

а (2, 3, 1), в (1, 0, -3)

а•в= (2*1+3*0+1*(-3))=2+0-3=-1

= тупой угол

2.Векторний добуток векторів. Його алгебричні та геометричні властивості. Обчислення векторного добутку векторів через координати даних векторів відносно правого ортонормованого базису. Застосування векторного добутку векторів до розв’язання задач евклідової геометрії.

Векторное произведение вектора а и в называется вектор, который обозначается символом а в и определяется 3 условиями:

1.длина вектора

2.тройка векторов а, в, с- правая

3. а , в

Тройка векторов а, в, с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая.

Свойства:

1. антикоммутативность

2. λ а в=λ (а в), а λ в, где λ - R ассоциативность

3. признак колониарности

4. вычисление площади параллелограмма

5.определение угла между ними

6. а в+с)=а в+ а дистрибутивность

Векторное произведение векторов через координаты данных векторов

Пример:

Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}. Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

= i (2 · (-1) - (-2) · 1) - j ((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k ((-1) · 1 - 2 · 2) == i (-2 + 2) - j (1 + 4) + k (-1 - 4) = -5 j - 5 k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

Ответ: SΔ = 2.5√ 2.

Мішаний добуток векторів. Його алгебричні та геометричні властивості. Обчислення мішаного добутку векторів через координати даних векторів відносно правого ортонормованого базису. Застосування мішаного добутку векторів до розв’язання задач евклідової геометрії.

Если векторное произведение векторов а и в скалярно умножить на вектор с, то получится число, которое есть смешанным произведением авс.

Свойства:

1.Модуль (абсолютное значение) смешанного произведения =объему параллелопипеда, построенного на векторах авс как на ребрах

2.признак компланарностии векторов (т.е. лежат в одной плоскости) их смешанное произведение =0

авс> 0 тройка векторов правая, авс< 0 –левая

Смешанное произведение векторов через координаты данных векторов

, , c ,

Пример: Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , , Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов , и :

Встановлення характеру взаємного розміщення двох прямих у просторі за канонічними рівняннями цих прямих відносно довільної афінної системі координат.

Руху площини.Приклади. Основні властивості. Основна теорема теорії рухів площини. Аналітична форма задання руху площини відносно прямокутної декартової системи координат. Руху площини І і ІІ роду.Групи рухів площин та її підгрупи. Застосування рухів площини щодо розв’язання задач евклідової геометрії.

Отображение плоскости на себя. Пусть каждой точке плоскости поставлена в соответствие какая-то точка этой плоскости, причём любая точка плоскости оказывается

поставленной в соответствие какой-нибудь точке. Тогда говорят, что дано отображение

плоскости на себя. Если точке М поставлена в соответствие точка M', то M' называется

образом точки М, а точка М - прообразом точки M'.

Отображение плоскости на себя называется преобразованием плоскости, если две

различные точки плоскости переходят в различные точки.

Понятие движения. Говорят, что отображение плоскости на себя сохраняет расстояния между точками, если расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами. Отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками, называется движением. Движение является преобразованием плоскости.

Поворот. Отметим на плоскости точку О и зададим некоторый угол α. Поворотом

плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости, при котором точка О отображается сама в себя, а каждая точка М, отличная от точки О, отображается в точку M' так, что ОМ=ОM' и ∠ МОM'=α, причём все точки плоскости поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении. Точка О называется центром поворота, а угол α - углом поворота.

Поворот вокруг точки О на 180 градусов называется центральной симметрией.

Поворот является движением.

Параллельный перенос. Параллельным переносом на данный вектор р называется

отображение плоскости, при котором образом точки А является такая точка А', что AA'=p.

Вектор р называется вектором параллельного переноса.

Параллельный перенос на нулевой вектор есть тождественное преобразование.

Параллельный перенос является движением.

Свойства движений.

1. При движении три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не

лежащие на одной прямой.

2. При движении любой отрезок отображается на отрезок, причём концы отрезка

переходят в концы его образа.

3. При движении прямая отображается на прямую и параллельные прямые

отображаются на параллельные прямые.

4. При движении луч отображается на луч.

5. При движении угол отображается на равный ему угол.

6. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.