Поняття про метричний простір. Приклади. Відкриті множини у метричному просторі та їх основні властивості. Метричний простір як топологічний.

Пусть Х - произвольное непустое множество, а ρ: Х × Х ® R ₊ - отображение декартового квадрата этого множество во множество R ₊ неотрицательных вещественных чисел.

Отображение ρ: Х × Х ® R ₊ называется метрикой на Х, если оно удовлетворяет следующим трем условиям, называемым аксиомами метрики:

1. ρ (х, у) = 0 < => х = у (аксиома тождества);

2. ρ (х, у) = ρ (y, x) " х, у Î Х (аксиома симметрии);

3. ρ (х, у) ≤ ρ (х, z) + ρ (z, у) " х, у, z Î Х (аксиома треугольника).

Множество Х, рассматриваемое вместе с заданной на ней метрикой ρ, называется метрическим пространством. Элементы множества X называются при этом точками этого метрического пространства, а число ρ (х, у) - расстоянием между точками x и y.

На одном и том же множестве можно задать различные метрики, поэтому, чтобы их различать, метрическое пространство обозначают в виде пары (X, ρ).

Пример: 1. Числовая прямая. Пусть R - множество вещественных чисел. Метрику зададим так: ρ (х, у) = | x - y |. Все аксиомы 1*- 3* выполняются. Полученное метрическое пространство (R, ρ) называется числовой прямой R..

Пример: 2. Многомерное числовое пространство. Пусть X - множество упорядоченных n -наборов действительных чисел x = (x ₁, x ₂,..., x _n). Расстояние между элементами x = (x ₁, x ₂,..., x _n) и y = (y ₁, y ₂,..., y _n) зададим формулой

Полученное метрическое пространство (R ⁿ , ρ) называется n-мерным числовым пространством или евклидовым пространством.

Пример: 3.В том же множестве R ⁿ можно задать метрику ρ ₀ по формуле ρ ₀ (х, у) = max | x _k - y _k |. (R ⁿ , ρ ₀ ) - также n -мерное числовое пространство.

Пример: 4. Дискретное метрическое пространство.

Пусть X - произвольное непустое множество. Полагая

, мы увидим, что все аксиомы 1-3 выполняются. Эта метрика называется дискретной метрикой, а пространство (X, ρ) - дискретным метрическим пространством.

Пример: 5. Пространство непрерывных функций C _{[ a, b ]} .

Пусть X - совокупность вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке [ a, b ]. Метрику на данном множестве зададим следующим образом:

.

Полученное метрическое пространство (X, ρ) обозначается C _{[ a, b ]} и называется пространством непрерывных функций.