Поняття про криву у диференціальній геометрії. Дотична пряма та нормальна площина до елементарної кривої у даній точці. Доступні умови їх існування.

Топологическое уравнение кривой: Топологическое (непрерывное) отображение двух точечных множеств назыв. такое взаимнооднозначное соответствие между точками этих множеств, при которых любым двум бесконечно сближенным точкам одного множества соответствует бесконечно сближающие точки другого множества. Если между двумя точечными множествами можно установить непрерывное отображение, то говорят, что множество топологически эквивалентны между собой.

Кривой линией назыв.множество точек, которые состоят из конечного или счетного множества простых дуг, примыкающих друг к другу.

Соотношение, которое определяет зависимость радиус-векторов точки параметризованной прямой от ее параметра (М(t)) назыв. параметрическим уравнением кривой.

Пусть кривая задана уравнением , тогда кривой назыв.особой точкой кривой, если , в противном случае точку называют обыкновенной .

Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Если кривая определена уравнением , то уравнение касательной к ней в точке имеет вид:

а уравнение нормали:

Задание. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение. Находим значение функции в заданной точке:

Далее вычислим значение производной функции в точке :

а тогда уравнение касательной запишется в виде:

или после упрощения:

уравнение нормали:

Ответ. Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

1.Скалярний добуток векторів, його алгебричні та геометричні властивості. Обчислення скалярного добутку векторів через координати даних векторів відносно ортонормованого базису. Застосування скалярного добутку векторів до розв’язання задач евклідової геометрії.

2.Векторний добуток векторів. Його алгебричні та геометричні властивості. Обчислення векторного добутку векторів через координати даних векторів відносно правого ортонормованого базису. Застосування векторного добутку векторів до розв’язання задач евклідової геометрії.

3.Мішаний добуток векторів. Його алгебричні та геометричні властивості. Обчислення мішаного добутку векторів через координати даних векторів відносно правого ортонормованого базису. Застосування мішаного добутку векторів до розв’язання задач евклідової геометрії.

4.Встановлення характеру взаємного розміщення двох прямих у просторі за канонічними рівняннями цих прямих відносно довільної афінної системі координат.

5.Руху площини.Приклади. Основні властивості. Основна теорема теорії рухів площини. Аналітична форма задання руху площини відносно прямокутної декартової системи координат. Руху площини І і ІІ роду.Групи рухів площин та її підгрупи. Застосування рухів площини щодо розв’язання задач евклідової геометрії.

6.Афінні перетворення площини. Приклади. Основні властивості. Основна теорема теорії афінних перетворень площини. Аналітична форма задання афінного перетворення площини відносно довільної афінної системи координат. Афінні перетворення площини І і ІІ родую Група перетворень площини до розв’язання задач евклідової геометрії.

7.Поняття про метричний простір. Приклади. Відкриті множини у метричному просторі та їх основні властивості. Метричний простір як топологічний.

8.Поняття про топологічний простір та його основні характеристики. Аксіоми відокремлювальності для топологічних просторів.

9.Поняття про криву у диференціальній геометрії. Дотична пряма та нормальна площина до елементарної кривої у даній точці. Доступні умови їх існування.

10.Поняття про поверхню у диференціальній геометрії. Дотична площини та нормаль до елементарної поверхні. Доступні умови їх існування.