Поняття про топологічний простір та його основні характеристики. Аксіоми відокремлювальності для топологічних просторів.

Пусть X - произвольное множество и t = {Ui; iÎ I}- некоторое семейство его подмножеств.

Определение 1.1. Будем говорить, что семейство t задаёт (определяет) в множестве X топологическую структуру (топологию), если это семейство удовлетворяет следующим

(свойствам) аксиомам:

АТ1. Всё множество X и пустое множество Æ принадлежат семейству t.

АТ2. Объединение любой совокупности множеств из t принадлежат t.

АТ3. Пересечение любого конечного числа множеств из t принадлежат t.

Часто топологическую структуру t называют топологией в X.

Определение 1.2. Множество X, рассматриваемое вместе с заданной в X топологией t, называется топологическим пространством; при этом элементы множества X называются точками а подмножества Ui, принадлежащие семейству t, - открытыми множествами этого топологического пространства.

Иногда само множество X называют носителем топологии t.

Таким образом, топологическое пространство есть пара: - множество X и введённая в нём топология t. Поэтому топологическое пространство будем обозначать как (X, t). Там,

где это не вызовет недоразумений, вместо (X, t) будем писать просто X.2

1.2. Примеры топологических пространств

1.2.1. Тривиальная топология.Пусть X - произвольное множество, а t0 = {Æ, X}. Ясно,

что аксиомы АТ1-АТ3 выполнены и 0 t задаёт в X простейшую топологию, которая называется тривиальной.

1.2.2. Дискретная топология. Пусть снова X - произвольное множество и каждый элемент множества X является открытым множеством в топологии d t. Все аксиомы топологического пространства будут выполнены и такая топология t d = {H, H Ì X}, состоящая из всех подмножеств H множества X, называется дискретной топологией.

1.2.3. Связное двоеточие. Пусть X = {a, b}, а t = {Æ, X, a}. Так как аксиомы топологического пространства выполнены, мы имеем точечное топологическое пространство (X, t) весьма простого строения, имеющее определённый интерес и носящее специальное название - связное двоеточие.

1.2.4. Метрические пространства. Если в арифметическом пространстве n R введена обычная метрика, то в качестве открытых множеств можно взять шары D (x) r с центром в точке x и радиусом r > 0, т.е. множество точек, удалённых от точки x на расстояние строго меньше чем r. Тогда множество U открыто в n R, если для каждой точки xÎ U существует такое r > 0 что шар Dr (x)Ì U. Топология, состоящая из таких открытых множеств называется естественной (метрической) топологией. Такое 3топологическое пространство обозначим как n E и покажем, что выполнена, например, аксиома АТ3.

Любое евклидово пространство n E является топологическим пространством.