Методи цифрових диференціальних аналізаторів

При інтерполяції за методом цифрових диференціальних аналізаторів (ЦДА) моделюється диференціальне рівняння відтвореної кривої, рішенням якого є задана відтворена крива.

Метою створення цього методу є підвищення точності відпрацювання заданих складних кривих (від 2 порядку і вище). Ідея полягає у зниженні порядку кривої заданого руху за рахунок диференціювання і наступної інтерполяції з подальшим інтегрування різницевих рівнянь, що задані координатами кінцевих точок. Наслідком цього є включення в загальну структурну схему розрахунків координат пристрою – диференціатора (рис. 6.25). Враховуючи те, що метод ЦДА призначено для підвищення точності відтворення складних кривих, його робота реалізована на постійній несучій частоті.

Рис. 6.25. Загальна структурна схема реалізації методу ЦДА

Загальний метод побудови диференціальних рівнянь, розв’язком яких є задані криві, описаний В.С. Кулебакіним і названий методом К (D)-перетворення. Для найпростіших же траєкторій (прямої та кола) диференціальні рівняння можуть бути знайдені прямим способом.

Лінійна інтерполяція методом ЦДА. Відтворимо схему реалізації методу ЦДА для алгебраїчного рівняння прямої лінії:

,

де X, Y – кадрові прирости координат.

Продиференціюємо рівняння по х, перейдемо до системи параметричних диференційних рівнянь координат відносно параметра , проінтегруємо обидві частини рівнянь і отримаємо наступні вирази для координат точок траєкторії руху:

; ,

де T – період постійної частоти;

, – середні міжтактові прирости по відповідних координатах, що мають цілі та дробові частини, підраховані з високою точністю.

При обчисленні інтеграла скористаємося наближенням Ейлера і перейдемо до дискретного часу. Отримаємо наступні вирази для координат точок кожного циклу інтерполяції на постійній несучій частоті:

; .

Таким чином, обчислення поточних координат x_i, y_i відтворюючої точки здійснюється додаванням середніх міжтактових приростів, а реалізацію методу ЦДА для лінійної інтерполяції можна провести за допомогою двох програмно чи апаратно побудованих регістрів-накопичувачів, що і є цифровим диференціальним аналізатором.

Наведені вище вирази продемонстрували методичну сутність побудови цифрового диференціального аналізатора.

В основу реального алгоритму лінійної інтерполяції за методом ЦДА покладені наступні залежності:

; ; ; ;

; ; ; ,

де , – повні величини приростів координат, що містять дробову і цілу частини дискрет;

D x_i, D y_i – цілі частини приростів координат, що призначені для видачі у i -му циклі інтерполяції на постійній несучій частоті;

, – накопичувачі дробових залишків координат;

іnt – функція виділення цілої частини, що полягає у відкиданні дробового залишку;

x_i, y_i – накопичувач координат.

Отже, алгоритм лінійної інтерполяції методом ЦДА полягає у проведенні паралельних розрахунків координат за наступними кроками:

– визначення повних приростів координат , із врахуванням дробових залишків від попередній циклів інтерполяції;

– визначення приростів координат , та їх дробових частин , , які будуть використані в наступному інтерполяційному циклі;

– видача керуючих сигналів івизначення значень координат x_i, y_i.

В рамках алгоритму здійснюється перевірка кінця відпрацьовування кадру, тобто для останнього циклу інтерполяції координатні прирости розраховуються як:

; .

Таким чином, схему інтерполяції методом ЦДА можна подати як процес накопичення відхилень на кожному кроці циклів інтерполяції та вироблення корегуючого впливу (компенсації), коли це накопичення досягне значення однієї дискрети. Внаслідок цього інтерполяційна траєкторія буде пролягати переважно нижче заданої траєкторії.

Кругова інтерполяція методом ЦДА. Розглянемо за такою ж схемою побудову методу ЦДА для кругової інтерполяції траєкторії руху проти годинникової стрілки у першому кванданті.

Рівняння кола з радіусом R записується наступним алгебраїчним виразом:

.

Продиференціюємо рівняння по х, перейдемо до системи параметричних диференційних рівнянь координат відносно параметра , проінтегруємо обидві частини рівнянь і отримаємо наступні вирази для координат точок траєкторії руху:

; ,

де – середній прирост кута повороту відтворюючої точки за період T постійної частоти інтерполятора.

При обчисленні інтеграла скористаємося наближенням Ейлера і перейдемо до дискретного часу. Отримаємо наступні вирази для координат точок кожного циклу інтерполяції на постійній несучій частоті:

; .

Від’ємний знак у виразі координати X показує на те, що абсолютне значення координати зменшується, а прирости координат отримують значення:

; .

Наведені рівняння є описом цифрового диференціального аналізатора. Операція підсумовування виконується в кожному новому циклі періоду постійної несучої частоти. При цьому в регістр-накопичувач подається значення поточної координати відтворюючої точки.

Структурна схема зв’язків у цифровому диференціальному аналізаторі при круговій інтерполяції наведена на рис. 6.26. Звернемо увагу на те, що в регістрі-накопичувачі координати Y здійснюється підсумовування поточних координат x_i, а в регістрі-накопичувачі координати Х – y_i.

Рис. 6.26. Структурна схема зв’язків у цифровому диференціальному аналізаторі при круговій інтерполяції

Метод цифрових диференціальних аналізаторів трактують звичайно більш широко, відносячи до цього методу такі алгоритмічні структури з апаратно чи програмно реалізованими регістрами-накопичувачами, у рамках яких (мова йде про структури) відбувається підсумовування дуже точно підрахованих координат чи їх приростів, виділення для керування приводами цілих частин, накопичення дробових залишків тощо. Іншими словами, цифровий диференціальний аналізатор як пристрій, що моделює диференціальне рівняння відтвореної траєкторії, може в явному вигляді не виявлятися. Проте власне алгоритмічну структуру отримують на підставі суто геометричного підходу без залучення диференціальних форм.

Розглянемо один з варіантів кругової інтерполяції, що належить до методу ЦДА (рис. 6.27).

Рис. 6.27. Кругова інтерполяція методом ЦДА

Інтерполяція здійснюється на постійній несучій частоті з періодом T. З кожним періодом постійної несучої частоти відбувається приріст кута повороту відтворюючої точки, де використані уже введені раніше значення. Цей кут повороту може бути заданий його косинусом, а той, у свою чергу, підрахований на етапі підготовки інтерполяції за допомогою розкладу в ряд:

Можна скористатися також табличними значеннями косинусів, збереженими в пам’яті пристрою ЧПУ.

Поставимо задачу визначення міжтактових приростів D x_{i+ 1}, D y_{i+ 1} геометричним шляхом:

;

;

,

де – коефіцієнт кругової інтерполяції, який розраховується на початку кадру.

Наведені формули залучаються до рекурсивних процедур розрахунку чергових приростів на підставі попередніх значень поточних координат, що зберігаються і коригуються у регістрах-накопичувачах. Якщо врахувати, що кожне розраховане значення координат виконане з деякою похибкою, то з аналізу виразу для обчислення координат видно, що ця похибка входить два рази. Отже, необхідно запобігти використанню у розрахунках координат інших значень, крім попередніх.

Одним з таких варіантів модифікації методу ЦДА при круговій інтерполяції є метод прогнозу та корекції.