Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Полином Ньютона. Метод конечных разностей




 

Полином Лагранжа, как правило, применяется для вычисления значения функции в точке, лежащей внутри интервала, содержащего узловые точки, но не совпадающей ни с одной узловой точкой. Для таких вычислений не обязательно иметь общий вид функции . Для получения общего вида интерполяционного полинома (а затем и многочлена) чаще применяют полином Ньютона. Он может быть получен из полинома Лагранжа и, соответственно, является одним из его частных следствий. Полином Ньютона имеет вид:

.

Значения коэффициентов Аiможно получить, если последовательно подставлять в уравнение полинома значения переменных хi →x0 , x1 , x2 ,…,xn . Требование совпадения значения полинома с заданными значениями функции в узловых точках приводит к системе линейных уравнений:

 

при ;

при ;

при ;

при ;

……………………………………………………………………….

Из этих уравнений легко находятся коэффициенты Аi :

;

;

и т.д.

Безусловно, вычисление коэффициентов становится весьма трудоемкой операцией. Однако существует более удобный и компактный способ нахождения коэффициентов полинома Ньютона. Но первоначально решим представленную выше задачу, воспользовавшись полиномом Ньютона.

Задача 18. Произвести интерполяцию таблично заданной функции полиномом Ньютона.

х 0,5 1,0 1,5 2,0
f 2,75 4,0 8,75

Решение. Воспользовавшись вышеприведенными соотношениями для вычисления коэффициентов полинома Ньютона, определим:

; .

.

.

Следовательно, полином Ньютона примет вид:

.

Если выполнить необходимые арифметические действия и привести подобные члены, получим окончательно интерполяционную функцию:

.

 

Получив решение вышеприведенной задачи, попробуем найти коэффициенты полинома Ньютона следующим образом. Применительно к функции выполним некоторые расчеты, результаты которых занесем в следующую таблицу.

 

Таблица 19 - Рачет коэффициентов полинома Ньютона

    0,5 1,0   1,5   2,0 2,75 4,0   8,75   20,0

 

В столбце записаны частные от деления

.

В столбце записаны частные от деления

.

Соответственно в столбце записаны частные от деления

,

где индекс i=1…n .

Заметим, что в таблице в первой строке имеем следующий ряд чисел: 2,75; 2,5; 7,0; 4,0. Это коэффициенты в ранее полученном полиноме Ньютона и начальная граница интервала. Очевидно, что табличный расчет существенно облегчил получение коэффициентов Aiв полиноме Ньютона. Таблица 19, представленная выше, называется таблицей конечных разностей. Величины называются конечными разностями нулевого порядка, - конечные разности первого порядка, - конечные разности второго порядка и т.д. до - конечная разность п – го порядка.



Примечание: термин “конечные разности” применяется в случае разбиения отрезка интерполирования на равные интервалы. Если разбиение неравномерное, то применяется термин “разделенные разности”.

В задаче 18 интерполяция проводилась на всем отрезке задания функции [x0 ; x3] с интервалом 0,5. Однако с помощью таблицы конечных разностей очень легко построить интерполяционный полином на любом интервале (в пределах заданного отрезка) и, что иногда важно, взять за основу любую границу (не обязательно ею должна быть а=х0 ). Например, нам интересна интерполяция на отрезке [x0 ; x1] Тогда полином Ньютона примет следующий вид:

или

.

Построим геометрический образ этого полинома первой степени (рисунок 17).

Рисунок 17 - Геометрическая трактовка конечной разности

 

Очевидно, что функции будут соответствовать все точки отрезка АВ (например, точка D ). Тогда, если, например, х=х1 , получим

.

Можно утверждать, что

.

Иначе, конечные разности первого порядка – это приближенные значения первых производных заданной функции в начале интервала. Точно так же можно показать, что остальные конечные разности – суть производные соответствующего порядка, взятые на границе соответствующего интервала. Например, . Эти выводы крайне важны и в другом аспекте – с помощью построения таблицы конечных разностей можно производить численное дифференцирование любой (в том числе и заданной аналитически) функции.



Вполне понятно, что интерполяционный график функции по двум точкам [x0 ; x1] – это прямая линия, уравнение которой мы и получили. Это так называемая линейная интерполяция. Нетрудно также видеть, что, если (х1 –х0)→0, то

.

В качестве примера можно записать полином Ньютона при интерполяции вышерассмотренной функции на участке [x1=1,0 ; x2=2,0]. Он будет иметь вид:

или .

Полином Ньютона, а также расчет конечных разностей, упрощается, если табличная функция представлена на отрезке с равноотстоящими интервалами, т.е.

.

Тогда коэффициент Атв полиноме Ньютона (если за начало отрезка интерполирования принять х0) надо вычислять по формуле:

,

а конечные разности рассчитываются так, как показано в таблице 20.

 

Таблица 20 - Запись конечных разностей

 

Полином Ньютона записывается следующим образом:

 

.

В таком виде полином Ньютона называют первым интерполяционным многочленом Ньютона.

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.029 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал