Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Прямой метод исключения Гаусса




Прямые методы основаны на принципах последовательного исключения неизвестных. Целью исключения является преобразование базовой матрицы системы А из размерности в другую размерность. Наиболее просто решается система линейных уравнений с n-неизвестными в том случае, когда штатная матрица преобразуется в диагональную матрицу:

 

= ;

 

Тогда первичная система из n линейных уравнений, каждое из которых содержит (теоретически) (n) неизвестных, распадается на n линейных уравнений, каждое из которых содержит только одну неизвестную величину типа

;

;

…………………..

.

В таком случае основная вычислительная работа будет заключаться в преобразовании исходной системы линейных уравнений. Это трудоемкая процедура. Более проста схема преобразования матрицы размерностью в треугольную. Такого типа матриц может быть два вида, в зависимости от условия или . Первая имеет вид:

;

 

Тогда из последнего уравнения в одно действие определяется значение неизвестной :

.

Из предпоследнего уравнения получим:

 

,

 

а затем

 

И так далее, вплоть до первого уравнения:

 

;

 

.

 

Преобразование квадратной матрицы в треугольную можно выполнить, воспользовавшись одним из свойств определителя: если одну из строк (или столбцов) умножить на любое число и сложить (вычесть) с другой строкой, то от этого определитель не изменится. Например, умножив вторую строку на коэффициент k1, а третью – на коэффициент k2и порознь сложив их с первой, получим эквивалентную матрицу:

 

= .

 

Коэффициенты всегда можно подобрать так, чтобы нужный элемент матрицы принял нужную нам величину (в том числе и ноль, что в методе Гаусса и требуется). Последовательно осуществляя этот процесс, можно получить треугольную матрицу.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) включает в себя две процедуры: прямой ход и обратный ход. Прямой ход - приведение квадратной матрицы, например, к верхней треугольной форме, обратный ход - нахождение неизвестной в направлении от к (см. выше), что эквивалентно приведению матрицы к диагональной форме. Рассмотрим этот метод на наиболее простой системе, состоящей из трех линейных уравнений:

 

.

 

Систему можно записать в векторной форме:

,

где

, , .

По методу Гаусса умножим вторую строку на коэффициент и вторую строку запишем в виде суммы первой и второй, третью строку умножим на коэффициент и также сложим с первой.

 

; ;

 

;

или

; ,

где ; ;

; ;

; .

Так же поступим и с матрицей А: умножим третью строку на коэффициент , сложим вторую и третью строки, записав результат в третью строку:



 

;

Получим треугольную матрицу А’’

; ,

где ; .

 

Видим, что процесс реконструкции исходной матрицы носит пошаговый характер и с каждым шагом мы получаем промежуточную матрицу, порядок которой на единицу меньше предыдущей. Тогда исходная система линейных уравнений примет следующую структуру:

 

После преобразования системы следует обратный ход. Он заключается в последовательном вычислении переменных в направлении снизу вверх. Например:

 

; ; .

 

Задача 13. Решить систему линейных уравнений, найти корни с точностью до 0,001.

 

.

 

Решение. Всю систему расчетов, как правило, пошагово представляют в табличной

форме. Она может быть разной. Например, такой, как представлено в таблице 11, где все решение представляется в виде двухшагового цикла.

 

Таблица 11 - Расчетная таблица системы линейных уравнений

Шаг Элементы матрицы Свободные члены Множитель
  0,34 0,71 0,63 0,71 -0,65 -0,18 1,17 -2,35 0,75 2,08 0,17 1,28   -0,34/0,71= - 0,4789 -0,34/1,17= - 0,2906
  0,34 0,71 0,63 2,08     -1,0212/1,3929= - 0,7331
0 1,0212 0,7162 0 1,3929 0,4120 1,9985 1,7080
  0 1,0212 0,7162 1,9985  
0 0 0,4141 0,7463

 

Получили систему из трех уравнений (они выделены в таблице в отдельные строки:

;

;

.

 



Далее, методом обратного хода, найдем неизвестные:

 

;

.

 

При первом шаге коэффициенты при неизвестных во втором и третьем уравнениях получены путем их умножения на соответствующий множитель и сложения по столбцам с коэффициентами первого уравнения.

Рассмотрим еще одну, более удобную расчетную схему, которая называется схемой единственного деления. Ее смысл очевиден из анализа таблицы 12.

Целью преобразований является получение верхней треугольной матрицы, в диагонали которой стоят единицы. Для этого в текущей матрице первое уравнение должно быть разделено на значение первого элемента, а уже преобразованная строка, умноженная на первые элементы (с обратным знаком) других строк, складывается с этими строками. В результате исходная система уравнений преобразуется к

 

Таблица 12 - Решение системы уравнений по схеме единственного деления

Шаг Элементы матрицы Свободный коэф. Множитель
 
  ;
0 0
    0
0 0
0 0 1  

 

следующему виду:

 

.

Методом обратного хода получаем :

.

 

Найдем корни ранее рассмотренного уравнения, используя схему единственного деления (таблица 13).

Таким образом, исходная система принимает вид:

,

,

.

Таблица 13 - Решение задачи 13 по схеме единственного деления

Шаг Элемент матрицы Свободный коэффициент Множитель
0,34 0,71 0,63 0,71 -0,65 -0,18 1,17 -2,35 0,75 2,08 0,17 1,28 1/0,34
  1 2,0881 1,8529 6,1173 -0,71; -1,17 1/(-2,1325)
0 -2,1325 -1,4955 0 -4,7930 -1,4179 -4,1733 -5,8772
0 1 0,7013 1,9570 4,7930 1/1,9434
0 0 1,9434 3,5027
1,8023  

 

Очевидно следующее решение:

;

;

.

 

Мы получили практически тот же результат.

При использовании схемы единственного деления на некотором шаге прямого хода может оказаться, что коэффициент , но существенно меньше по сравнению с остальными элементами матрицы и, в частности, мал по сравнению с элементами первого столбца. Но деление на малую величину может привести к значительным ошибкам округления. Поэтому для их уменьшения и поддержания точности вычислений поступают следующим образом. Среди элементов первого столбца каждой промежуточной матрицы выбирают наибольший по модулю элемент и путем перестановки строк (от этого определитель не меняется) добиваются того, что главный элемент становится ведущим. Такая модификация метода называется методом Гаусса с выбором главного элемента (метод главных элементов).

Задача 14. Решить систему линейных уравнений методом главных элементов:

.

Решение. Процесс решения представим в виде таблицы 14.

Таблица 14 - Решение задачи 14

Шаг Элемент матрицы Свободный коэффициент Множитель
3,75 -0,28 0,17 2,11 -0,11 -0,12 0,22 -3,17 1,81 0,75 1,11 0,05 1/3,75=0,2666
1 -0,0747 0,0453 0 0,0476 -0,2156 0 -3,1536 1,8000 0,2000 0,6880 0,0060 -2,11; -0,22  
0 -3,1536 1,8000 0 0,0476 -0,2156 0,0060 0,6880 1/(-3,1536)
0 1 -0,5708 0 -0,1884 -0,0019 0,6881 -0,0476 1/(-0,1884)
-3,6523  

 

Как видно из таблицы 14, в этом случае появляется дополнительный (второй) шаг, где переставлены местами второе и третье уравнения.

Рассчитываем неизвестные (элементы базовых уравнений в таблице выделены жирным шрифтом):

Окончательно получаем:

; ; .

Проверка:

.

Полученное решение обеспечивает погрешность по тождествам не выше 0,02%.

 

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.04 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал