Подсчет углов в трехокружнике.

Сначала мы подсчитаем углы, в уже известном нам случае, когда три окружности D1, D2, D3 – все ортогональны друг другу. Определим углы между окружностью S (проходящей через А, Е, D –три точки пересечения окружностей D1, D2, D3 между собой) и окружностями D1, D2, D3 (см. рис. 1) не используя понятие биссектриса. Заметим что из трех точек А, Е, D – каждая лежит внутри хотя бы одной исходной окружности (такая тройка точек из шести точек пересечения существует хотя бы потому, что D1, D2, D3 – римановы окружности). Тогда из рисунка 1 получим три уравнения, связывающие углы (< D1, D2; (< D2, D3; (< D1, D3; и углы (< S, D1; (< S, D2; (< S, D3 между собой.

Рассмотрим пересечение окружностей S, D2, D3 в точке А. Получим уравнение: (< S, D2 + (< D2, D3 + (< D3, S = 180 градусов. Теперь рассмотрим пересечение окружностей в точке Е. Получим уравнение: (< S, D2 + (< D2, D1 + (< S, D1 = 180 градусов. Наконец в точке D получим уравнение: (< S, D1 + (< D3, D1 + (< D3, S = 180 градусов. Т. к (< D1, D2=(< D3, D2=(< D1, D1 = 90 градусов, то получим систему уравнений:

(< S, D2 + (< S, D3 = 90

(< S, D2 + (< S, D1 = 90

(< S, D1 + (< S, D3 = 90

Решив ее, находим (< S, D1=(< S, D2=(< S, D3 = 45 градусов. аналогичные уравнения можно составить и на оставшиеся 7 окружностей, построенных на точках пересечения. Заметим, что составляя их мы считаем угол (< D1, D2 (или (< D3, D1 или (< D1, D3) c одной или другой стороны Т.к. этот угол прямой, то с какой стороны его не считай – его величина не изменится.

Теперь мы подсчитаем углы в случае произвольного Риманова трехокружника. Пусть D1, D2, D3 –три произвольные римановы окружности, т.е. каждая окружность разделяет точки пересечения двух других.

Рисунок 3.

(Три римановы окружности D1, D2, D3. Точки пересечения D1 и D2 – А и В, точки пересечения D2 и D3 – Е и F, точки пересечения D1 и D3 – C и Н. Окружность S, проходящая через E, B, H.)

В этом случае вся плоскость будет разделена на 8 частей. Каждую из этих частей можно охарактеризовать, указывая вне или внутри окружности D1, D2, D3 она лежит (это не верно для случая, когда из окружностей – прямая. Не ясно, где у прямой внутренность, а где – внешность. Но этим исключением можно пренебречь в данном случае.) Иначе говоря – каждая из восьми частей есть пересечение внутренностей или внешностей этих трех окружностей. Заметим, что всего возможно 8 таких пересечений: от каждой окружности можно взять для пересечения внутренность или внешность. Всего окружностей три, значит возможных комбинаций 2х2х2=8. И все из этих 8 гипотетически возможных случаев – реализуются на плоскости. Если бы мы, например, взяли бы четыре окружности, то существовало бы 16 возможных случаев. Но некоторые из них не были бы реализованы, т.к. соответствующее пересечение было бы пусто – в нем не было бы точек плоскости.

Вернемся к подсчету углов. Выберем среди этих восьми областей плоскости ту, которая лежит внутри всех окружностей и проведем окружность S через «вершины» этого трехдужника (ограничивающего область): E, H, B. Найдем углы S с D1, D2, D3. Для этого использует тот же метод, что и для рассмотренного ранее случая. В точках Е, Н, В – сходятся по три окружности и сходятся таким образом, что сумма углов между этими тремя окружностями равна 180 градусам.

(< D2, S + (< S, D3 + (< D2, D3 = 180 градусов (по точке Е, где пересекаются D2 и D3.

(< D2, S + (< S, D1 + (< D1, D2 = 180 градусов (по точке B, где пересекаются D2 и D1.

(< D1, S + (< S, D3 + (< D1, D3 = 180 градусов (по точке H, где пересекаются D1 и D3.

Т.к. мы считаем углы (< D1, D2; (< D2, D3; (< D3, D1 нам известными, то мы имеем три уравнения с тремя неизвестными: (< S, D1; (< S, D2; (< S, D3. Решим эту систему и получим:

(< S, D1= 90 +0.5* ((< D2, D3 – (< D3, D1 – (< D1, D2)

(< S, D2= 90 +0.5* ((< D1, D3 – (< D2, D3 – (< D2, D1)

(< S, D1= 90 +0.5* ((< D1, D2 – (< D1, D3 – (< D2, D3)

Рассмотрим теперь остальные 7 окружностей (напомним, что вместе с S их восемь) построенных на точках пересечения D1, D2, D3. Как было показано в ст. 2 и 6 есть мнимая инверсия I, коммутирующая с D1, D2, D3.I – меняет местами точки пересечения любых двух окружностей между собой. В ст. 6 было доказано, что две сопряженные мнимой инверсией окружности не могут иметь общих точек между собой. Отсюда сразу следует, что окружность, проведенная через какие-то три точки пересечения D1, D2, D3 не может иметь общие точки с окружностью, проведенной через оставшиеся три точки (т.к. первая тройка точек сопряжена со второй мнимой инверсией I). Из этой сопряженности сразу следует и то, что D1, D2, D3 – изогональны к этим сопряженным окружностям. Также мы можем проследить, как переходят при мнимой инверсии I дуги окружностей D1, D2, D3.

Вернемся к рассмотрению углов. Разберем теперь те углы окружностей D1, D2, D3 между собой, которые обращены внутрь восьми трехдужников. Вычисляя углы между S и D1, D2, D3 мы рассматривали те углы между D1, D2, D3, которые обращены внутрь трехдужника (пересечения внутренностей D1, D2, D3). Но мы можем рассматривать и дополнительные углы. Углом между D1 и D2 мы можем считать угол, лежащий внутри этого трехдужника, а можем и лежащий вне, равный 180 – (< D1, D2. И так для каждой пары окружностей. Поскольку всего пар три, то можно составить 2х2х2=8 комбинаций углов, выбирая то основной, то дополнительный угол (сейчас я не рассматриваю случай, когда среди этих углов есть прямой, равный своему дополнительному). с другой стороны – у нас есть 8 трехдужников. Напрашивается мысль, что каждый из этих трехдужников как раз и реализует одну из восьми возможных комбинаций углов. Но это не так!

На рис. 3 мы видим, что, например, трехдужник C, E, B отличается от трехдужника Е, В, Н – двумя углами. углы в точках Е и В изменились на дополнительные, а угол в точке Н равен углу в точке С (я рассматриваю углы, обращенный внутрь трехдужника). аналогично и с трехдужниками Е, А, Н и Н, В, F – сравнивая их с Е, В, Н мы видим, что два угла (при общей дуге) изменились, а третий – остался неизменным. Если же мы сравним сравним эти трехдужники, напр. Е, С, В и А, Е, Н – между собой, то увидим, что они отличаются на два угла. После мнимой инверсии относительно I четыре рассмотренных трехдужника перейдут в четыре сопряженные. И при этом углы в сопряженных трехдужниках будут одинаковы. Таким образом, фактически реализуется 4 комбинации углов. Как их найти. Можно воспользоваться методом, аналогичному тому, что мы рассмотрели, разбирая возможные комбинации биссектрис между тремя окружностями. (См. ст. 8)

Достаточно найти какую-то комбинацию основных и дополнительных углов, обращенных внутрь одного трехдужника. Заменив два угла на противоположные – мы снова получим набор углов, обращенных внутрь какого-то трехдужника. Четыре возможные комбинации исчерпывают все возможные случаи расположения углов.

Но почему возможно только 4 случая? Это связано с тем. что угол можно мыслить как совокупность точек. При этом пересечение внутренностей двух окружностей образует тот же угол, что и пересечение их внешностей. а пересечение внутренности одной с внешностью другой, тот же угол, что пересечение внешности первой с внутренностью второй. иначе говоря – один и тот же угол существует и вне и внутри окружности. При мнимой инверсии именно равенство этих углов и реализуется.