Ортогональность и пучки.

Также пучки окружностей можно определять используя свойство ортогональности. в основе определения лежит следующий факт: если окружность ортогональная каким-то двум окружностям из одного пучка, то она ортогональна всем окружностям из этого пучка. Благодаря этому произвольный пучок окружностей можно определить как совокупность окружностей, ортогональных двум данным А и В. Если А и В пересекаются, им ортогонален мнимый пучок. Если А и В касаются, им ортогонален касающийся пучок. Если А и В не имеют общих точек, им ортогонален действительный пучок.

Свойства пучков можно изучать, пользуясь инверсией в одном из центров изучаемого пучка. При этой инверсии этот центр пучка перейдет в бесконечно удаленную точку. Действительный пучок при инверсии перейдет в пучок прямых, проходящих через одну точку (эта точка будет образом второго центра пучка при этой инверсии).

Рисунок 15.

(набор прямых, пересекающихся в одной точке)

Касающийся пучок перейдет в пучок параллельных прямых.

Рисунок 16.

(несколько параллельных прямых)

Мнимый пучок перейдет в семейство концентрических окружностей. Их общий центр – образ второго центра пучка при рассматриваемой инверсии.

Рисунок 17.

(набор концентрических окружностей)

В этот пучок входят и мнимые инверсии. Это инверсии относительно этих концентрических окружностей, в композиции с симметрией относительно центра окружностей.

Пользуясь приведенными рисунками легко доказать, что для любых трех инверсий А, В, С из одного пучка А*В*С – снова инверсия из этого пучка.

Если все окружности одного пучка ортогональны всем окружностям второго – эти пучки называются двойственными. Совместное изображение двойственный пучков напоминает своеобразную сетку координат или силовые линии.

Центры окружностей, лежащих в одном пучке, расположены на одной прямой (или совпадают, если эти окружности концентрические). В действительном пучке центры входящих в него окружностей лежат на прямой, равноудаленной от центров пучка (точек пересечения окружностей). В касающемся пучке центры окружностей лежат на прямой, ортогональной их общей касательной и проходящей через общую точку касания. В мнимом пучке центры окружностей лежат на прямой, проходящей через центры пучка. Причем точки, лежащие между центрами пучка – являются центрами мнимых инверсий этого пучка.

При моделировании проективной геометрии нам понадобилось рассматривать точки, как частный случай окружностей. Тогда мы считаем, что пара точек задает мнимый пучок с центрами в этих точках, точка Р и окружность А задают мнимый пучок с центрами Р и А(Р). Если Р лежит на А, то они задают не мнимый, а касающийся пучок окружностей, касающихся А в точке Р).

Мы считаем все окружности, проходящие через данную точку – ортогональными ей. в этом случае мы можем определить пучок окружностей, ортогональный двум точкам – это пучок проходящих через них окружностей. Пучок, ортогональный точке Р и окружности А – это пучок окружностей, проходящих через Р и ортогональных А. Это равносильно тому, что окружности проходят через А и А(Р).

В первой части мы утверждали, что для любых трех инверсий (или точек), существует инверсия, коммутирующая (ортогональная) им. Докажем это. Разберем сперва случай, когда среди трех данных инверсий (точек) есть точки. Трем точкам ортогональна окружность, проходящая через них. Паре точек Р и Q и инверсии А ортогональна окружность, проходящая через Р, Q, A(P) и А(Q). Точке Р и инверсиям А и В ортогональна окружность, проходящая через Р, А(Р), В(Р). Пусть теперь А, В, с – инверсии, действительные или мнимые. Покажем, что существует инверсия (действительная или мнимая), коммутирующая с ними всеми или – эти окружности пересекаются в одной точке. В этом случае мы говорим, что эта точка и ортогональна им всем.

Три инверсии А, В, С образуют три пучка (А, В), (В, С), (А, С). Если среди них есть хоть один мнимый пучок, то проведем окружность через центры этого пучка и ортогональную третьей инверсии. Она и даст искомую инверсию. Если среди этих пучков нет мнимых, значит все инверсии А, В, С, – действительны (т.к. мнимые инверсии входят только в мнимые пучки), и все неподвижные окружности этих инверсий имеют общие точки (пересекаются или касаются). А этот случай мы уже рассматривали (ст. 2, теорема о пучках и построение инверсии по образам двух точек или по тройке пересекающихся окружностей).

Пучки, тождество (А*В*С)²=e и непрерывность.

Заметим еще одно свойство пучков. Пусть у нас есть две произвольные окружности А и В. Тогда А(В) и В(А) – лежат в пучке, образованном А и В. Также и биссектрисы между А и В лежат в этом пучке. Таким образом, зная две окружности пучка, мы можем получить множество других окружностей с помощью инверсии, их композиций и проведения биссектрис. Рассмотрим подробней композицию инверсий: А, В, А(В), В(А), В(А(В), А(В(А)), В(А(В(А))), …

Удобно выделить два преобразования f1=А*В и f2=В*А (легко видеть, что они взаимнообратные, их композиция – тождественное движение: f1*f2=(А*В)*(В*А)=А*(В*В)*А=е т.к. А и В – инволютивны, А*А=В*В=е) и рассмотреть последовательные действия:

f1(A), f1(f1(A)), … f1^k(A)…

f2(B), f2(f2(B)), … f2^k(B)…

Мы видим, что если пучок мнимый (А и В не имеют общих точек), то результаты этих композиций будут стягиваться к центрам пучка. В первом ряде к одному, во втором – к другому. f1 «тащит» окружность (и все точки плоскости) в одном направлении, f2 – в противоположном.

Если пучок (А, В) – касающийся, то оба ряда будут стягиваться к единственному центру пучка (но и «вытягиваться» оттуда), но стягиваться по разным направлениям. Если (А, В) – действительный пучок, то окружности будут «поворачиваться), возможно при каком-нибудь К f1^k(A)=A, f2^k(В)=В (все вернется на свои места, как при вращении прямых). Если А и В очень близки друг к другу, то f1=А*В и f2=В*А оба изменяют все не очень сильно. Тогда f1(A) близко к А, последовательно применяя f1 к А мы будем иметь плавное изменение окружности А. Если же будем применять f2 к А, то получим плавное изменение А «в другую сторону». Мы можем мыслить пучок окружностей, как результат плавного изменения окружностей. Особенно наглядно это в случае мнимого пучка: окружность постепенно разрастается из одного центра пучка, дорастает до прямой и сжимается во втором центре пучка.

Вернемся к тождеству (А*В*С)²=е, оно утверждает, что композиция трех инверсий из одного пучка – инволютивна. На самом же деле – не только инволютивна, но и есть инверсия относительно окружности из этого пучка. Если С можно получить применяя инверсии А и В (как мы проделывали ранее), то требуемое нетрудно показать алгебраически. Более того, если с помощью неких окружностей P и Q можно композициями инверсий относительно их самих можно выразить А, В, С, то опять-таки требуемое получается очень просто. (Мы рассмотрим это в ст. 5). Но это можно сделать не всегда, подобно тому, как существуют несоизмеримые длины. Но, подобрав Р и Q достаточно близко друг к другу, мы сможем с помощью инверсий выразить произвольные окружности пучка, в котором лежат Р и Q – сколь угодно точно. Далее, с помощью стандартного предельного перехода можно видеть, что (А*В*С)²=е, раз А, В, С сколь угодно близки к инверсиям, для которых это тождество имеет место.

В этой статье мы не первый раз говорим о предельных переходах. Докажем по-новому, с помощью такого перехода, уже хорошо известный нам факт геометрии окружности. Доказательство интересно тем, что синтезирует в себе важные топологические и алгебраические идеи. Пусть есть две не имеющие общих точек окружности А и В. Докажем, что всякая окружность, ортогональная им – проходит через центры пучка (А, В). Доказательство:

Пусть С – ортогональная им окружность. Тогда С ортогональна и А(В) и В(А(В)) и т.п. все окружностям из описанного выше ряда, т.к. инверсии относительно А и В оставляют С на месте и сохраняют ортогональность окружностей. Все ортогональные окружности – пересекаются. Значит С пересекается со всеми окружностями типа А(В), В(А(В)), А(В(А))… Но эти окружности стягиваются сколь угодно близко к центрам пучка. Если С не проходит через какой-то центр пучка, то какая-то окружность указанного ряда будет ближе к центру пучка, чем С и поэтому – не пересечется с С. Но это невозможно, т.к. все эти окружности – ортогональны С. Поэтому С проходит через оба центра пучка. Что и требовалось доказать.

В окончание статьи докажем, что тождество (А*В*С)²=е выполняется только в двух случаях.

1. А. В, С – в одном пучке.

2. Все А, В, С – ортогональны друг другу.

Для этого нам понадобится простая лемма (докажите ее самостоятельно): если композиция каких-то двух инверсий Р и Q переводит в себя какую-то пару точек (т.е. либо меняет местами две точки, либо оставляет обе неподвижными), то эта пара точек является центрами пучка, образованного инверсиями Р и Q.

Теперь мы докажем, что если (А*В*С)²=е, то А переводит в себя центры пучка, образованного В и С. Подсчитаем композицию А(В(С(А(В(С(Х)))))) если Х – один из центров пучка (В, С). А(В(С(центры пучка (В, С))))=А(центры пучка (В, С)) (т.к. В и С переводят в себя центры образованного ими пучка). Применим еще раз А*В*С: А(В(С(А(центры пучка (В, С))))=(центры пучка (В, С)) т.к. по предположению А*В*С примененное дважды возвращает все точки на свои места, в том числе и центры пучка (В, С). Применим инверсию А к левой и правой части, получим В(С(А(центры пучка (В, С)))=А(центры пучка (В, С)). Значит В*С переводит пару точек А(центры пучка (В, С)) в ту же пару точек. По лемме отсюда следует, что А(центры пучка (В, С))=(центры пучка (В, С)). Это и означает, что А переводит центры пучка (В, С) в себя. Разобрав все варианты видим, что это означает, что либо А лежит в пучке (В, С) или А ортогональна В и С. В первом случае мы имеем требуемое, это случай 1. Во втором случае – А коммутирует с В и С. Воспользуемся этим: (А*В*С)²=А*В*С*А*В*С=В*С*А*А*В*С=В*С*В*С=е (сначала мы воспользовались, что А коммутирует с В и С, затем, что А*А=е). Но В*С*В*С=е равносильно тому, В*С=С*В (домножив обе части на С*В). Это и означает, что В и С коммутируют между собой или ортогональны. что и требовалось.

Случай, когда В и С касаются – предлагаю разобрать самостоятельно.