Моделирование проективного пространства.

Можно очень просто сформулировать соответствие между плоской геометрией окружности и геометрией проективного пространства.

А. Назовем «точкой» проективного пространство инверсию (действительную или мнимую) или точку геометрии окружности

В. Назовем «прямой» проективного пространства – совокупность инверсий, ортогональных двум данным и, если эти инверсии действительные – то и их общие точки (если эти точки есть).

С. Назовем «плоскостью» проективного пространства – совокупность инверсий и, если данная инверсия действительная – совокупность лежащих на ней точек.

Пояснения. 1. Я говорю «ортогональные», а не «коммутирующие». Разумеется, это вольность речи. Инверсии это – отображения, а не геометрические объекты. 2. Я трактую здесь точки как частный случай инверсий. Поскольку определения используют лишь одной свойство инверсий – коммутируемость (ортогональность) это корректно. Ведь точку можно считать ортогональной к окружности, на которой она лежит. Фактически я мыслю здесь точки как «очень маленькие окружности». Такой ход мысли хотя и непривычен, все же имеет больше общего с реальностью, чем представление о точке, как о чем-то лишенном толщины, и т.п. как это принято обычно.

Аналогично тому, как через три точки всегда можно провести окружность – для трех инверсий всегда есть инверсия, ортогональная им всем. Если инверсия мнимая – она не ортогональна ни одной точке.

Прямая проективной геометрии – это просто пучок окружностей (инверсий). Раз мы считаем точки частным случае окружностей, то пара точек также должна задавать пучок. Это будет – мнимый пучок с центрами в этих точках. Точка и окружность также задают мнимый пучок, его центры: исходная точка и образ этой точки относительно данной окружности.

Дав эти определения нам нужно многое доказать, чтобы убедиться, что определенные так «точки, прямые и плоскости» ведут себя так, как мы привыкли или, как это должно быть в проективной геометрии.

1. Что пара точек «точек» задает «прямую». Это равносильно тому, что две произвольные инверсии (или точки) задают совокупность инверсий и точек, ортогональных неким двум инверсиям (или точкам) и сами эти исходные инверсии ортогональны этим «неким».

2. Что для любых трех инверсий существует инверсия, ортогональная им. Это означает, что через любые три точки проективного пространства можно провести плоскость.

И еще ряд аналогичных утверждений нам надо доказать. Мы сделаем это во второй части статьи. Пока же мы построим наглядную пространственную модель, которая объяснит нам, в чем суть дела. Я сделаю эту модель с помощью А-отображений в пространстве. Определяются А-отображения в пространстве точно также, как А-отображения на плоскости.

Пусть S – сфера в пространстве, F – произвольная точка не лежащая на сфере, Х – произвольная точка на сфере S. проведем через X и F прямую, она пересечет S в некоей точке Y. Y и будет образом точки Х при А-отображении с центром в точке F, (а Х будет образом точки Y при этом отображении, F(F(X))=X для всех Х, т.е. F(X) – инволютивное отображение). Возможно, что прямая (Х, А) касается сферы S. В этом случае определяем F(X)=X. Разберем свойства неподвижных точек при таких отображениях. Если F лежит внутри сферы S, то всякая прямая, проходящая через F – пересекает сферу в двух различных точках, поэтому у А-отображения с центром в F нет неподвижных точек. Если F снаружи сферы S, то неподвижные точки А-отображения с центром в F лежат на прямых, проходящих через F и касающихся S. Точки касания этих прямых и будут неподвижными точками А-отображения с центром в F. Прямые, проходящие через F и касающиеся S образуют конус (с вершиной в F), а линия касания этого конуса со сферой – окружность. (Это следует из того, что описанное построение можно повернуть на любой угол, относительно прямой, проходящей через F и центр сферы). Таким образом, мы имеем сейчас колпак, надетый на сферу.

Итак, если F – вне сферы, то неподвижные точки А-отображения с центром в F – окружность. Из определения видно, что А-отображение с центром в F в данном случае «выворачивает» сферу S относительно неподвижной окружности. Есть несколько способов показать, что А-отображения отображают окружности на сфере – в окружности и являются инверсиями (действительными, если F лежит снаружи сферы и мнимыми, если внутри). Я укажу два. Первый: точно также, как А-отображения на плоскости можно расширить до инверсий, ортогональных окружности О, так и А-отображения в пространстве можно расширить до инверсии сфер, ортогональных сфере S. второй: воспользоваться теорией поляр и полюсов в пространстве.

Полярой точки F лежащей снаружи сферы называют плоскость, в которой лежит окружность, неподвижная при А-отображении с центром в F. (Окружность касания конуса с вершиной F и сферы S). Точно также, как в плоском случае есть свойство взаимности: если точка а лежит на поляре точки В, то и точка В лежит на поляре точки А. Если четыре точки лежат на одной плоскости, то четыре их поляры – пересекаются в одной точке. Есть важная особенность теории поляр в пространстве: каждой прямой можно сопоставить прямую. Именно, пусть прямая L есть пересечение двух плоскостей А и В. Рассмотрим полюса этих плоскостей и проведем через эти две точки прямую М. Она и будет соответственной к L прямой. (или возьмем две точки на L, проведем поляры этих точек, они пересекутся по некоторой прямой, которая совпадет с построенной другим способом М).

Можно конечно доказывать свойства А-отображений не используя ни теорию инверсий в пространстве, ни теорию поляр и полюсов, а сводя дело к серии задач по стереометрии. Заметим еще, что А-отображения из-за их наглядности можно использовать для определения инверсий на сфере. Если центр А-отображения F лежит снаружи сферы, то F задает действительную инверсию, относительно окружности неподвижных точек А-отображения с центром в F, если F внутри сферы, то F задает мнимую инверсию, у которой нет неподвижных точек.

Как и в плоском случае зададимся вопросом: когда А-отображения коммутируют. И ход рассуждений и результат будут напоминать рассуждения про А-отображения на плоскости. Пусть В и С – два коммутирующих А-отображения. В(С(Х))=С(В(Х)). Пусть у отображения с центром в точке В – есть неподвижные точки, т.е. В – вне сферы S. Тогда С отображает неподвижные точки отображения В – снова в неподвижные точки отображения В. Т.к. неподвижные точки этого отображения – окружность, то центры А-отображений, отображающие эту окружность в себя обязательно лежат в той же плоскости, что и эта окружность. Эта плоскость является полярой точки В. Мы показали, что В обязательно должно лежать на ней. В теории поляр доказывается, что этого достаточно, что если С лежит на поляре В, то А отображения с центрами в этих точках коммутируют друг с другом. Геометрически коммутирование отображений с центрами в А и В означает, что для любой точки Х на сфере S пара точек Х, В(Х) под действием отображения С переходит в пару точек, лежащую на одной прямой с В. (ср. рис. 8).

Резюмируем. Если В вне S, то центры коммутирующих с В отображений лежат на поляре В. Эта поляра пересекает сферу S. Те точки, которые лежат внутри S являются центрами А-отображений, определяющих мнимые инверсии, коммутирующие с В, а точки, лежащие снаружи определяют действительные инверсии, коммутирующие с В. Если же В внутри S, то центры коммутирующих с В А-отображений также лежат на поляре В. Эта поляра не имеет с S общих точек, все точки этой поляры лежат вне S и определяют действительные инверсии, коммутирующие с В. Заметим, что поскольку в данном случае В задает мнимую инверсию, то и коммутирую с ней только действительные инверсии. Это соответствует тому, что не существует двух коммутирующих друг с другом мнимых инверсий. Наконец, если В лежит на S, то мы можем определить отображение, отображающее все точки сферы в точку В. С этим отображением коммутируют все А-отображения, центры которых лежат на плоскости, касающейся сферы S в точке В. Эта плоскость называется полярой точки В. Все точки, кроме самой точки В задают действительную инверсию, коммутирующую с отображением всей сферы в точку В.

Итак, мы показали, что центры А-отображений, коммутирующих с данным – лежат на одной плоскости в трехмерном пространстве. «Прямая» по нашему определению – совокупность А-отображений (или инверсий на сфере) коммутирующих с двумя данными. Центры А-отображений, ортогональных двум данным лежат на пересечении плоскостей, где находятся центры А-отображений, ортогональных каждому из двух данных. Поэтому «прямая» в нашем определении – изображается пересечением двух плоскостей, т.е. – прямой в трехмерном пространстве. Случай, когда плоскости или прямые параллельны друг другу – разрешается аналогично плоскому варианту.

А тот факт трехмерной проективной геометрии, что любые три плоскости пересекаются в одной точке эквивалентентен в нашей модели тому, что для любых трех окружностей есть одна, ортогональная всем трем (это будет доказано в приложении).

В завершение этой темы восполним один пробел. Я несколько раз (уже в ст. 2) свободно переходил от изучения окружностей на плоскости к изучению окружностей на сфере, но не доказывал, что это можно делать (напр., доказывая теорему о пучках). Для доказательства правомерности этого перехода я приведу отображение сферы на плоскость, при котором точки сферы перейдут в точки на плоскости, окружности перейдут в окружности и углы между окружностями – также сохраняются. Иначе говоря – установлю изоморфизм (см. конец ст. 3) между геометрией окружностей на сфере и геометрией окружностей на плоскости. Это отображение называют стереометрической проекцией.

Пусть сфера S лежит на плоскости А и Р – наиболее удаленная от А точка сферы. (S касается А в точке под Р). Спроецируем сферу S на плоскость А при этом центр проекции поместим в Р. При этой проекции образом точки Х на сфере будет точка пересечения прямой (Р, Х) с плоскостью А. при этой проекции в каждую точку плоскости отображается одна точка сферы, но у точки Р, центра проекции нет образа. Тогда плоскость А пополняют «бесконечно удаленной точкой» (той самой, куда при инверсии переходят центр окружности) и говорят, что эта бесконечно удаленная точка и будет образом точки Р. Доказательство, что при этой проекции окружности переходят в окружности и углы между окружностями сохраняются – я здесь приводить не буду, ради экономии места. Его можно найти, например в книге Гильберта «Наглядная геометрия».