ПЗ.5. Распределение Пуассона.

Распределение Пуассона связано с процессами, характеризующимися простейшим потоком событий. Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени. Примерами потоков событий могут служить потоки заявок в системах массового обслуживания: на телефонной станции, заявки на ремонт, заказы на покупку товаров, а также поток бракованных изделий, или поток отказов при эксплуатации оборудования. Простейший поток событий отличается отсутствием последствия:

а) вероятность наступления тех или иных событий в простейшем потоке событий за любой промежуток времени зависит только от длительности этого промежутка (а не от начала отсчёта);

б) указанная вероятность не зависит от того, какое число событий имело место до начала рассматриваемого промежутка времени.

Кроме того, в простейшем потоке событий вероятность наступления очередного события в течение малого промежутка времени можно считать пропорциональной длительности этого промежутка с коэффициентом пропорциональности λ. Коэффициент λ является параметром потока. Его обычно определяют как изменение вероятности наступления события в единицу времени. Учитывая, что вероятность реализации события определяется соотношением:

, (П.3.11)

(где r – число фактически происшедших событий в рассматриваемый промежуток времени;

N – общее число объектов, с которыми могут происходить интересующие нас события),

параметр λ может быть определён по формуле:

(П.3.12)

,

где число событий, происшедших в течение времени .

Величина λ есть удельная частота реализации интересующих нас событий.

Если промежуток настолько мал, что за это время может произойти только одно событие (), то вероятность однократной реализации события:

,

где .

Соответственно отсутствие реализации данного события в том же промежутке t выразится соотношением:

, (П.3.13)

где .

Приняв во внимание, что отсутствие реализации события в промежутке времени означает совпадение отсутствия реализации его как в промежутке t, так и в промежутке , по правилу умножения вероятностей получим:

,

что с учётом (П.3.13) даёт:

и

.

Перейдя к пределу при , получим дифференциальное уравнение:

,

решением которого (при начальном условии является соотношение:

. (П.3.14)

Уравнение (П.3.14) является уравнением вероятности отсутствия интересующих нас событий, в частности вероятности безотказной работы оборудования в течении времени t при простейшем потоке отказов, когда параметр потока стационарен (λ = const).

Если же необходимо определить вероятность сложного события X, заключающегося в том, что за промежуток времени t произойдёт именно m интересующих нас событий в составе простейшего потока, то применяют формулу распределения Пуассона:

, (П.3.15)

где a – это среднее число событий, приходящихся в течение времени t на один обслуживаемый (или наблюдаемый) объект.

Если известен параметр потока λ, то:

,

так что показательное распределение (П.3.14) есть частный случай распределения Пуассона при m = 0.

Как указывалось ранее, биноминальное распределение, в отличие от распределения Пуассона, характеризуется задаваемым заранее параметром n – количеством проводимых испытаний. Однако если значение n достаточно велико (n > 20), а значение p, фигурирующее в формуле (П.3.9), достаточно мало (p < 0, 1), то можно применить формулу распределения Пуассона, считая, что за время проведения n испытаний получится a = n*p.

В этих условиях (и при умеренных значениях a, например, при a < 4) биноминальное распределение приближается к распределению Пуассона («асимптотическое приближение») и формула (П.3.9) может быть заменена более простой формулой (П.3.15).