ПЗ.4. Биноминальное распределение.

Биноминальное распределение связано с n -кратным повторением одного и того же испытания с целью обнаружения случайного события E, имеющего вероятность реализации P(Е) = p. Полагают, что в результате проведения испытаний величина P не изменяется. Порядок проведения испытаний, который обеспечивает неизменность P, называют независимыми испытаниями по схеме Бернулли, или схемой повторной выборки. Если, например, из урны вынимают наугад один шар и проверяют его на наличие какого-либо признака, то по схеме Бернулли шар после проверки следует возвратить в урну, а затем все шары следует тщательно перемешать. Вероятность того, что событие Е не реализуется, определяется по формуле:

. (П.3.8)

После проведения каждой серии из n испытаний событие Е может быть фактически реализовано X раз, причём величина X может принимать значения от 0 до n. Биноминальное распределение даёт закон распределения случайной величины X после каждой серии из n описанных ранее испытаний. При этом полагают, что сложное событие X = m заключается в том, что за n испытаний случайное событие Е наступит ровно m раз, а противоположное событие наступит (n – m) раз. Биноминальное распределение описывается соотношением:

, (П.3.9)

где – число сочетаний из n элементов по m (m = 0, 1, 2, …, n), .

Данный закон распределения называется биноминальным, так как вероятности подсчитаны по формуле (П.3.9) и соответствуют членам разложения бинома:

, (П.3.10)

по степеням p.

Если число объектов, из которых производится выборка, много больше n, то распределение вероятностей X достаточно близко к биноминальному распределению и в случае бесповторной выборки, когда используемые объекты (изделия) после проведения испытаний не возвращаются в состав проверяемой партии.