Передаточная характеристика оптимального (согласованного) фильтра

Синтез оптимального фильтра – это отыскание передаточной характеристики устройства, обеспечивающего максимум отношения сигнал/шум на выходе:

Задача сводится к отысканию АЧХ и ФЧХ устройства.

Результаты синтеза будут определяться входными данными S(ω) и σ _x.

Пусть сигнал s(t) действует на фоне шума с постоянным энергетическим спектром (белый шум). Введем в рассмотрение время t₀ – это время, в которое производится фиксация уровня сигнал/шум. Выходной сигнал представим в виде:

Среднеквадратическое значение помехи на выводе фильтра:

где W(ω)= Wo - энергетический спектр помехи.

Если to –время пика сигнала на выходе фильтра, то

Необходимо, чтобы соотношение было максимальным. Для этого воспользуемся неравенством Шварца:

Это неравенство обращается в равенство только при выполнении условия

F₂(x) = AF₁* (х), где А - произвольный постоянный коэффициент.

В нашем случае: . Отсюда:

Таким образом:

Учитывая, что выражение в квадратных скобках есть полная энергия входного

сигнала Э, запишем окончательное выражение:

Это неравенство обращается в равенство при выполнении условия:

Откуда:

Фильтр с таким коэффициентом передачи называется фильтр, согласованный

с сигналом. Он обеспечивает на выходе максимально возможное соотношение:

Условие АЧХ: K(ω)=AS(ω),

Условие ФЧХ: φ (ω)= - [θ (ω)+ω t₀]

Коэффициент А – размерный коэффициент. Добавление к фазе слагаемого wt₀ делается для выделения на выходе всей энергии сигнала.

Вывод: 1. Фильтр обеспечивает максимально возможное соотношение сигнал/шум на выходе за счет:

- Условия компенсации начальных фаз гармонических составляющих сигнала (ФЧХ фильтра равна и противоположна по знаку ФЧХ сигнала, сложение компонентов сигнала образует пик выходного сигнала).

- Совпадения формы K(w) и S(w) (фильтр пропускает составляющую шума неравномерно, что приводит к уменьшению шума на выходе.Сигнал ослабляется слабее, чем шум).

2. Сигнал на выходе задерживается на время tо.