РАЗДЕЛ 4 3 страница

Если число опытов в каждой точке (т.е. при каждом сочетании значений факторов) больше единицы и различно, то находят по формуле:

(4.4.9)

где n_j – число параллельных (повторных) опытов в j -й строке мат­рицы; – среднее арифметическое из n_j параллельных опытов. Из этой формулы видно, что различие между экспериментальным и расчетным значениями имеет тем большее значение, чем больше число повторных опытов.

Следующий этап анализа состоит в проверке значимости коэф­фициентов. Его можно осуществлять двумя равноценными способами: проверкой по t -критерию Стьюдента или построением доверитель­ного интервала. Если опытные данные получены в результате пол­ного факторного эксперимента или регулярных дробных реплик, то доверительные интервалы для всех коэффициентов (в том числе и эффектов взаимодействия) равны друг другу.

На этом этапе найдем сначала дисперсию коэффициента регрес­сии s ² (a_j)по формуле:

(4.4.10)

Дисперсии всех коэффициентов равны друг другу, так как они за­висят только от погрешности измерений и числа опытов. Довери­тельный интервал для j -го коэффициента определяется по формуле

(4.4.11)

Здесь – квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы, с которыми определялась дисперсия для вероятности, равной выбранному уровню значимости.

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше до­верительного интервала, т.е. если его среднее влияние на у боль­ше, чем разбросы за счет неточности модели и «мешающих» факторов.

Очень часто в качестве модели используют степен­ной полином вида

(4.4.12)

где а ₁, а ₂,..., а_т – параметры модели.

Такая модель при правильном выборе степени полино­ма позволяет с любой необходимой точностью аппроксими­ровать любую истинную регрессионную зависимость. Достоинст­вом модели является также то, что функция линейна отно­сительно неизвестных параметров a ₀, а ₁, а ₂,..., а_m, что упро­щает обработку наблюдений. В данном случае вопрос выбора вида модели сводится к выбору порядка m по­линома.

После выбора вида регрессионной модели вычисляют ее параметры. Для модели (4.4.12) необходимо получить оценки параметров a ₀, а ₁, а ₂,..., а_m, что можно сделать на ос­нове метода, рассмотренного в § 3.5.

Предположим, что y_i (i = 1, 2,..., п) – это значения выходного параметра объекта, определяемые регрессионной зависимостью от x_i, а l_i – соответствующие результаты из­мерений выходного параметра. Разность в об­щем случае отлична от нуля из-за наличия погрешностей измерения и возмущающих воздействий на объект исследо­вания.

Здесь и далее считаем, что отклонение адди­тивно (не зависит от значения у) и распределено нормаль­но с нулевым математическим ожиданием.

Для регрессионной модели (4.4.12) запишем систему нормальных уравнений:

(4.4.13)

Преобразовав (4.4.13) к стандартному виду, получим:

(4.4.15)

В результате решения системы уравнений (4.4.15), линей­ных относительно искомых параметров a ₀, а ₁, а ₂,..., а_m, получим их оценки

,

где

Бывает так, что модель нелинейной регрессионной зависимости целесообразно искать в виде функции, отличной от степен­ного полинома (4.4.12), например, в виде

(4.4.16)

который содержит два неизвестных параметра а и b. При­менение полинома (4.4.12) при той же точности модели может потребовать более высокого порядка полинома, что повышает трудоемкость вычислений.

Однако использование таких нелинейных (относительно параметров) функций осложняет вычисление их параметров. В некоторых частных случаях решение задачи упро­щается, если искусственно преобразовать нелинейную мо­дель в линейную. Например, для функции (4.3.16) необходимо сделать замену переменной вида Тогда получим линейную модель

(4.4.17)

где .

При этом необходимо соответственно преобразовать ис­ходные экспериментальные данные – вычислить совокуп­ность значений z. Затем методом наименьших квадратов находят оценки и параметров линейной модели (4.4.17) и осуществляют обратный переход к нелинейной модели (4.4.16).

4.5. Активный эксперимент

В отличие от пассивного эксперимента планирование активного эксперимента предполагает воздействие на ход процесса и возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес.

Установление каждого фактора на некоторый уровень определяет одно из вероятных состояний объекта. Если пе­ребрать все допустимые наборы уровней факторов, то полу­чим полное множество различных состояний данного объекта, что и определит число возможных различных опытов.

Число различных состояний объекта определяется соот­ношением b^k, где b – число уровней факторов; k – число факторов. Реальные объекты обладают большой сложно­стью. Так, система с пятью факторами на пяти уровнях имеет 3125 состояний.

В этих условиях приходится отказываться от таких экспериментов, которые включают в себя все возможные опыты. Тогда возникает вопрос: какие опыты и сколько на­до включать в эксперимент? Для решения этой задачи ис­пользуется планирование активного эксперимента. При пла­нировании активного эксперимента в рассмотрение необхо­димо включать все существенные факторы, которые могут влиять на объект исследования. Если какой-либо сущест­венный фактор окажется неучтенным, то это может приве­сти к нежелательным последствиям. Так, если неучтенный фактор произвольно изменялся, принимая случайные зна­чения, которые не контролировались в процессе экспери­мента, то это приведет к существенному увеличению по­грешности опыта.

Вместе с тем увеличение числа включенных в рассмот­рение факторов приводит к значительному возрастанию чи­сла опытов по показательной функции. При большом числе факторов следует обратиться к методам отсеивания несу­щественных факторов.

Каждый фактор имеет область определения. Будем счи­тать фактор заданным, если вместе с его названием указа­на и область определения. Под областью определения пони­мается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор. Ясно, что совокупность значений фактора, которая используется в эксперименте, является подмножеством из множеств значений, образую­щих область определения. Область определения может быть непрерывной или дискретной. В реальных задачах планирования эксперимента используются дискретные об­ласти определения. Так, для факторов с непрерывной об­ластью определения, таких, как температура, напряжение питания и т.п., всегда выбираются дискретные множества уровней. В практических задачах области определения фак­торов, как правило, ограничены. Ограничения могут носить принципиальный либо технический характер.

Факторы делятся на количественные и качественные. К качественным факторам относятся, например, различные вещества, технологические способы, аппараты, исполнители и т.п. Хотя качественным факторам не соответствует числовая шкала в том смысле, как это понимается для ко­личественных факторов, однако можно построить условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда, т.е. про­изводит кодирование. Пусть, например, при изучении производства ре­зисторов надо установить влияние положения тигеля в печи. Можно разделить печь на квадраты и считать номера квадратов уровнями качественного фактора, определяющего положение тигля. Также можно вве­сти два количественных фактора: координаты тигля по дли­не и ширине печи.

При планировании эксперимента факторы должны быть уп­равляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нуж­ное значение фактора, может его поддерживать на постоянном уровне в течение всего опыта. В этом состоит особенность активного эксперимента.

Чтобы точно определить фактор, нужно указать после­довательность действий, с помощью которых устанавлива­ются его конкретные значения. Такое определение фактора называется операциональным. Так, если фактором является давление в некотором аппарате, то необходимо указать, в какой точке и с помощью какого прибора оно определяет­ся и как устанавливается. Введение операционального оп­ределения обеспечивает однозначное понимание фактора.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменяют несколько факторов. Поэтому к совокупности факторов предъявляются следующие требования. Прежде всего, выдвигается требование сов­местимости. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны. Несовместимость факторов может наблюдаться на границах областей их оп­ределения. Исключить ее можно сокращением областей. Положение усложняется, если несовместимость проявляется внутри области определения. Одно из возможных решений в этом случае – разбиение на подобласти и планирование эксперимента для каждой из них.

При планировании эксперимента важна независимость факторов, т.е. возможность установления фактора на лю­бом уровне вне зависимости от уровней других факторов.

Выбор факторов является очень ответственным этапом при подготовке и планирова­нии эксперимента. От удачного выбора факторов во многом зависит успешное решение поставленной задачи. Планиро­вание эксперимента предполагает одновременное изменение возможно большего числа факторов, т.е. проведение так называемого многофакторного эксперимента, при планиро­вании которого возникают типичные задачи математической статистики: выбор оптимальной стратегии эксперимента в условиях неопределенности, обработка результатов измере­ний, проверка гипотез и принятие решений.

Так же, как и при пассивном эксперименте, важным этапом планирования активного эксперимента является вы­бор математической модели объекта. Чаще всего использу­ют полиномиальные модели, достоинством которых являет­ся универсальность и линейность относительно искомых параметров.

Полином первого порядка выглядит следующим образом:

(4.5.1)

второго порядка –

(4.5.2)

Полином второго порядка содержит свободный член , линейные члены и , квадратичные члены , и член , определяющий эффект взаимодействия, ко­торый происходит в том случае, когда влияние на выходной параметр у одного фактора зависит от уровня другого фак­тора.

Прежде, чем приступить к планированию, необходимо выбрать локальную область факторного пространства. Это важный этап принятия неформализованных решений, пред­шествующих построению плана первой серии эксперимента.

При выборе области эксперимента, прежде всего, надо оценить границы областей определения факторов. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов.

Первый тип – принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор – температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль.

Второй тип – ограничения, связанные с технико-экономическими сообра­жениями, например со стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонентов, временем ведения процесса.

Тре­тий тип ограничений определяется конкретными условиями проведе­ния процесса, например существующей аппаратурой, техно­логией, организацией.

Далее на основании априорной информации необходимо найти в области определения фактора локальную подобласть для планирования эксперимента. Процедура выбора этой подобласти включает в себя два этапа: выбор основного уровня и выбор интервалов варьирования.

Наилучшим условиям, определенным из анализа априор­ной информации, соответствует комбинация или несколько комбинаций уровней факторов. Каждая из них является точкой в многомерном факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее основным (нулевым) уровнем.

В качестве априорной информации можно использовать сведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов, о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения выходной величины. Обычно такая информация бывает ориентировочной и, в некоторых случаях, просто ошибочной, но это единствен­ная основа, на которой можно начинать планировать экспе­римент. В ходе эксперимента ее часто приходится корректировать.

Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно ну­левого уровня.

После того, как нулевой уровень выбран, переходим к следующему шагу – выбору интервалов варьирования.

Затем для каждого фактора необходимо выбрать два крайних уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте.

Пусть в качестве фактора в неком эксперименте рассматривают температуру. Пусть основной уровень выбран и равен 100°С. Это значение изображается точкой. Тогда два интересующих нас уровня можно изобразить двумя точками, симметрич­ными относительно первой. Один из этих уровней называется верхним, а второй – нижним. Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению фактора, а для качест­венных факторов не важно какой уровень фактора будет принят за верхний, а какой за нижний.

Интервалом варьирования факторов называется неко­торое число (свое для каждого фактора), прибавление ко­торого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний. Другими словами, интервал варь­ирования – это расстояние на координатной оси между ос­новным и верхним (или нижним) уровнями. Таким образом, задача выбора уровней сводится к задаче выбора интервала варьирования.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработ­ки экспериментальных данных масштабы по осям выбира­ются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, ниж­ний –1, а основной 0. Для факторов с непрерывной обла­стью определения это всегда можно сделать с помощью преобразования

(4.5.3)

где – кодированное значение фактора; – натуральное значение фактора; – натурное значение основного уровня; – интервал варьирования; j – номер фактора.

Для качественных факторов, имеющих два уровня, один обозначается +1, а другой – -1, порядок уровней не имеет значения.

Пусть процесс определяется четырьмя факторами. Основной уровень и интервалы варьирования выбраны сле­дующим образом.

Натуральные значения
Кодированные значения		–1	–0, 5		+0, 5	+ 1

Рассмотрим первый фактор.

В соответствии с (4.5.3) перейдем от натуральных значе­ний фактора к кодированным:

Факторы
Основной уровень			1, 5
Интервал варьирования

На выбор интервалов варьирования накладываются ес­тественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьиро­вания не может быть меньше той погрешности, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. В противном случае верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. Вместе с тем интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровень оказался за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется с помощью интуитивных решений.

4.6. Полный факторный эксперимент

Метод полного факторного эксперимента дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности выбранной точки с координатами .

Рассмотрим планирование факторного эксперимента на примере линейной полиномиальной математической модели, которая используется наиболее часто. В этом случае достаточно использовать только два уровня факторов.

Если число факторов известно, то можно найти число опытов, необходимых для реализации всех возможных со­четаний уровней факторов: N = 2 ^k, где N – число опытов; k – число факторов; 2– число уровней. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеется полный фактор­ный эксперимент 2 ^k.

Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Такие таблицы называются матрица­ми планирования эксперимента.

Матрица планирования для двух факторов приведена в табл. 4.6.1. Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку – вектор-строкой.

Таблица 4.6.1

Номер опыта			у
	-1	-1
	+1	-1
	-1	+1
	+1	+1

Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко найти прямым перебором, то с ростом числа факторов возникает необходимость в разработке правил построения матриц. На практике обычно используются три приема, основанные на переходе от матриц меньшей раз­мерности к матрицам большей размерности.

Первый прием. При добавлении нового фак­тора каждая комбинация уровней исходного плана встреча­ется дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Отсюда вытекает следующий прием: запи­сать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня. При переходе от эксперимента 2² к эксперименту 2³ (табл. 4.6.2) это выглядит следующим образом.

Этот прием распространяется на построение матриц любой размерности.

Таблица 4.6.2

Номер опыта				у
	-1	-1	-1
	+1	-1	-1
	-1	+1	-1
	+1	+1	-1
	-1	-1	+1
	+1	-1	+1
	-1	+1	+1
	+1	+1	+1

Второй прием. Введем правило перемножения столбцов матрицы. При построчном перемножении двух столбцов произведение единиц с одноименными знаками дает +1, а с разноименными – -1. Воспользовавшись этим правилом, для рассматриваемого случая получим вектор-столбец в исходном плане. Далее повторим еще раз исходный план, а у столбца произведений знаки поменяем на противопо­ложные. Этот прием тоже можно перенести на построения матриц любой размерности, однако он сложнее, чем первый.

Третий прием. Он основан на правиле чередования знаков. В первом столбце знаки меняются поочередно, во втором – чередуются через два, в третьем – через четыре, в чет­вертом – через восемь и т.д. по степеням двойки.

Матрица планирования экспе­римента обладает следующими свойствами:

– симметричность относитель­но центра эксперимента – алгеб­раическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или , где j – номер фактора; i – номер опыта; N – число опытов.

– условие нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или .

– ортогональность матрицы планирования – сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или , .

– ротатабельность – точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказаний значений выходного пара­метра на основании математической модели одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Таким образом, правильно составленная матрица пла­нирования эксперимента должна обладать всеми четырьмя перечисленными выше свойствами.

Составив матрицу планирования эксперимента и прове­дя N опытов, можно перейти к оценке коэффициентов ли­нейной модели.

Можно утверждать, что эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная модель адекватна. Греческие буквы использованы для обозначения истинных значений соответствующих неизве­стных.

Эксперимент, содержащий конечное число опытов, по­зволяет получить только оценки для коэффициентов модели

. (4.6.1)

Подставив в уравнение модели известные значения факторов и результаты опытов , получим систему линейных условных уравнений, решение которой методом наименьших квадратов дает искомые оценки параметров модели:

(4.6.2)

Этой формулой можно воспользоваться для для вычисления коэффи­циентов а ₁и а ₂:

(4.6.3)

(4.6.4)

Благодаря кодированию факторов расчет коэффициен­тов не представляет трудности.

Для вычисления коэффициента а ₁используется вектор-стол­бец x ₁, а для вычисления а ₂ – столбец x ₂.

Для вычисления коэффициента а ₀ найдем среднее значение равное , равное

, (4.6.5)

где

; . (4.6.6)

В силу свойств симметрии матрицы , следова­тельно, . Чтобы все коэффициенты модели вычисля­лись по единой формуле (4.6.2), в матрицу планирования эксперимента вводят фиктивную переменную , ко­торая во всех опытах принимает значение +1. Тогда линей­ная модель запишется в виде

, (4.6.7)

j во всех приведенных выше формулах принимает значе­ния от 0 до k.

Коэффициенты при независимых переменных указыва­ют на силу влияния факторов. Чем больше численное зна­чение коэффициента, тем большее влияние оказывает фак­тор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора выходная величина увеличивается, а ес­ли минус – то уменьшается.