Свойства вероятности.

В независимости от того, с помощью какого подхода определена вероятность события или группы событий вероятности обладают рядом свойств:

Вероятность достоверного события, то есть такого события, которое обязательно произойдет, равно единице.

Вероятность невозможного события, то есть такого события, которое не произойдет ни при каких условиях, равна нулю.

Вероятность случайного события, то есть события, которое не является ни достоверным, ни невозможным, есть положительное число, заключенное между нулем и единицей (0≤ Р(А)≤ 1).

Опр. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Теорема: Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Опр. Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Пример: Пусть в урне находится два белых и два черных шара. Пусть событие А – вынут белый шар. Очевидно, Р(А)=1/2. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В – во втором испытании вынут белый шар – также имеет вероятность Р(В)=1/2, т.е. события А и В независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается (Р(В)=1/3); если в zпервом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается (Р(В)=2/3). Здесь вероятность события В зависит от появления или непоявления события А, т. е. события А и В зависимые.

Опр. Пусть А и В – зависимые события. Условной вероятностью Р_А(В) события В называют вероятность события В, найденной в предположении, что событие А уже наступило.

Так в примере 1 Р_А(В)=1/3.

Если же события А и В независимые, то Р_А(В)=Р(В).

Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А) Р_А(В).

Теорема: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Пример. Найдем вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (события А) равна 0, 8, а вторым (событие В) – 0, 7.

События А и В независимы, поэтому по предыдущей теореме искомая вероятность Р(АВ)=0, 7*0, 8=0, 56.

Теорема: Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) –Р(АВ).