Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть функция определена на отрезке .

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции , прямыми и и отрезком оси Ох.

рисунок 1

Требуется найти площадь криволинейной трапеции. Для этого

1. Разобьем отрезок точками на п элементарных отрезков . Обозначим и , .

2. Через точки деления проведем прямые, параллельные оси Оу.

Площадь криволинейной трапеции будет равна сумме площадей полученных полос. Заменим площади всех полос площадями соответствующих прямоугольников, опирающихся на элементарные отрезки с длинами , . Таким образом, в процессе решения каждую полосу заменили прямоугольником, криволинейную трапецию – ступенчатой фигурой.

рисунок 2

3. Найдем площадь каждого прямоугольника. Для этого на каждом отрезке

выберем , . Через точку проведем прямую, параллельную оси Оу до пересечения функции .

4. Таким образом, длины сторон каждого прямоугольника равны и

Следовательно, площадь каждого прямоугольника равна , .

5. Площадь ступенчатой фигуры равна сумме площадей прямоугольников

6. Площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой фигуры

. (1)

Равенство (1) тем точнее, чем меньше длина ступеней.

Пусть , тогда (2)

Определение. Сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Определение. Если интегральная сумма имеет предел при условии, что длина наибольшего из отрезков деления стремится к 0, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке . Обозначается:

а– нижний предел интегрирования, в – верхний предел интегрирования.

Замечания:

1. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует и не зависит от способа разбиения отрезка .

2. Определенный интеграл это число. Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, если .

3. Определенный интеграл зависит от вида подынтегральной функции и пределов интегрирования а и в, но не зависит от переменной интегрирования: