Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби

Перед интегрированием рациональной дроби следует выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то следует выделить из нее целую часть (разделить числитель на знаменатель дроби), т.е. представить дробь в виде

(1)

где М(х) – многочлен, а - правильная рациональная дробь,

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

где трехчлен имеет комплексные сопряженные корни;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби

(2)

4) вычислить неизвестные коэффициенты применив метод неопределенных коэффициентов, который можно реализовать тремя способами.

1 способ. Надо привести (2) к общему знаменателю, приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

2 способ. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения.

3 способ. Часто применяется комбинированный способ – оба способа вычисления коэффициентов комбинируются.

Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Пример1. Вычислить интеграл

Решение: Подынтегральная функция правильная рациональная дробь. Разложим на простейшие дроби

Сравнивая коэффициенты при и

Решая эту систему найдем поэтому искомое разложение

имеет вид

Следовательно