Геометричні перетворення системи координат.

Координати матеріальної точки мають сенс у тій чи іншій системі відліку. Системи координат, пов'язані з одним і тим же тілом відліку, фізично равноправні. Тому необхідна така математична форма запису фізичних законів, яка дала б одакові вирази в різних системах координат, тобто була б інваріантної відносно вибору системи координат. Такою інваріантної формою запису рівняння є векторна форма, тобто рівняння фізики, як векторні рівності справедливі для будь-якої системи координат. Векторна форма запису рівнянь широко застосовується як в механіці, так і в інших розділах фізики. В якості прикладів інваріантної форми запису можна навести векторні формули, що визначають швидкість, прискорення та ін У той же час відповідні формули в проекціях при різному виборі систем координат різні.

Крім інваріантності рівнянь - збереження форми запису їх у різних системах координат, існує інваріантність величин - збереження одного і того ж значення в різних системах координат. Інваріантність рівнянь і інваріантність фізичних величин пов'язана не тільки з вибором тієї або іншої математичної системи координат, але також і з перетвореннями системи координат, можливими завдяки властивостям простору. Ізотропність простору дозволяє повернути на довільний кут систему координат як ціле навколо будь-якої осі, що проходить через початок координат.

Фізичні величини діляться на векторні - проекції їх перетворення при поворотах і переходах від однієї системи до іншої - і скалярні - значення їх однакові в різних системах і при поворотах системи не змінюються.

Крім повороту, можливий зсув системи координат як цілого разом з початком системи і осями. У силу однорідності простору такий зсув (або трансляція) дає фізично рівноправні системи. Але математично зсув для координат всіх точок виражається рівністю

, (1)

де - вектор трансляції. Інваріантність фізичних формул по відношенню до трансляції означає, що в них радіус-вектори точок простору безпосередньо входити не можуть.

Перетворення системи координат. Це перетворення просторової інверсії і відображення часу:

(2)

Є припущення, що системи відліку Охуz і О'х'у'z’ (відображена) фізично рівноправні, тобто рівняння в них зберігають форму при інверсії осей. Векторні та скалярні рівняння механіки дійсно мають цю властивість. Але це не обов'язково для будь-якого рівняння; взагалі, скаляри і вектори при інверсії можуть змінюватися. По відношенню до інверсії скаляри діляться на істинні скаляри (або просто скаляри) і псевдоскаляри. Істинний скаляр при інверсії осей не змінюється, тобто задовольняє наступну умову:

(3)

Псевдоскаляр при інверсії змінює знак:

(4)

Вектори по відношенню до інверсії діляться на істинні (полярні) і псевдовектори (аксіальні). Істинний вектор відображається при інверсії разом з відображенням осей координат, що видно на прикладі радіус-вектора точки простору. Для його проекцій на підставі формули (2) маємо:

Будь-який справжній вектор при утворенні інверсії змінює знаки всіх проекцій на протилежні:

(5)

Що стосується псевдовектора, то він при відображенні простору не відображається із осями..