Решение линейных дифференциальных уравнений, преобразование Лапласа и передаточные функции

Линейные дифференциальные уравнения, с помощью которых описывают динамику элементов и САУ, можно решить классическим методом или путем применения преобразования Лапласа.

Решение можно представить в виде суммы:

y(t)=y^общ(t)=y^част(t),

общего и частного решений соответственно однородного и неоднородного дифференциальных уравнений.

y^общ(t) – составляющая решения определяет свободное движение системы и называется переходной (свободной) составляющей; y^част(t) – определяет вынужденное движение системы, обусловленное х(t), и зависит как от параметров а_j и b_i системы, так и от закона изменения входа х(t).

Y^част(t) характеризует установившейся процесс в системе.

Преобразование Лапласа состоит в том, что вместо функции времени х(t) или у(t) используют функцию комплексной переменной х(р), где р=β +jγ. Х(р) называется изображением функции х(t), которая называется оригиналом функции х(р). Операция перехода от х(t) к х(р) называется прямым односторонним преобразованием Лапласа и обозначается L:

L(x(t))=x(p)= dt.

Обратное преобразование:

L^-1[x(p)]=x(t)= dp.

Для наиболее часто встречающихся функций существуют таблицы преобразований по Лапласу.

Таким образом, при использовании преобразований Лапласа имеется возможность перехода от производной и интеграла к простым алгебраическим выражениям (функциям комплексного переменного р).

Применяя прямое преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнения (3.4) при нулевых начальных условиях, получаем операторную форму записи уравнения элемента (САУ):

Передаточная функция: W(p)= (3.6)

A(p)=a_mp^m+a_m-1p^m-1+…+a₁p+a₀; B(p)=b_npⁿ+b_n-1p^n-1+…+b₁p+b₀ – полиномы в развернутом виде.

Передаточная функция представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция однозначно определяет динамические свойства системы.

y(p)=W(p) x(p); переходной процесс:

y(t)=L^-1[y(p)]=L^-1[W9p)x(p)] (3.7)

уравнение статики элемента y(t)=Wx(t). Физически реализуемы элементы, для которых m> n.