Линеаризация дифференциальных уравнений

Анализ и решение нелинейных дифференциальных уравнений связаны со значительными трудностями и возможны лишь в некоторых частных случаях. Поэтому в инженерных расчетах прибегают к линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений, замене их приближенными линейными.

Наиболее распространенный метод линеаризации – метод малых отклонений, который основан на предположении достаточно малых отклонений входов и выходов от их установившихся значений.

Пусть САУ описывается нелинейным дифференциальным уравнением:

F(y^(j); x⁽ⁱ⁾) =0, где y^(j) – выходная регулируемая величина и ее производные (j=0, 1, 2, …, m); x⁽ⁱ⁾- входная величина и ее производные (i=0, 1, 2, …, n).

Установившийся режим наблюдается при y^(j)=y₀^(j); x⁽ⁱ⁾x₀⁽ⁱ⁾ и уравнения для него: F(y₀^(j); x₀⁽ⁱ⁾)=0.

Если в результате изменения входной величины х=х₀+Δ х произошло отклонение выходной величины от установившегося режима, то уравнение переходного процесса: F(y₀^(j)+Δ y^(j); x₀⁽ⁱ⁾+Δ x⁽ⁱ⁾)=0. (3.1)

Разлагаем в ряд Тейлора (функция гладкая имеет непрерывные производные) в окрестности точки, соответствующей установившемуся режиму:

F(y₀^(j)+Δ y^(j); x₀⁽ⁱ⁾+Δ x⁽ⁱ⁾)= F(y₀; x₀)+ )₀Δ y^(j)+ )₀Δ x⁽ⁱ⁾+R (3.2)

(величины высшего порядка малости).

Вычитаем из (3.2) уравнение (3.1) и пренебрегая R, получаем линеаризованное дифференциальное уравнение:

)₀Δ y^(j)= - )₀Δ x⁽ⁱ⁾ (3.3)

Под знаком производных входят не сами переменные, а их отклонения Δ у, Δ х, поэтому уравнения называют уравнением в отклонениях (линейно относительно отклонений с постоянными коэффициентами.

Разделив (3.3) на Δ t (при Δ t→ 0), получим дифференциальное уравнение в первом приближении:

/d )= /d ), где

a_j=(∂ ^jF/∂ y^j)₀ j=0, 1, …, m; b_i=(∂ ⁱF/∂ xⁱ)₀ i=0, 1, …, n.

Линеаризация позволяет свести широкий класс элементов и образованных ими АС к изучению их приближенных математических моделей. Статистические характеристики линеаризуются метолами: 1) малых отклонений; 2) касательной; 3) секущей (метод наименьших квадратов; 4) кусочно – линейной аппроксимации.