Метод укороченного уравнения

Обратимся к простей­шей схеме автогенератора с трансформаторной связью и будем считать заданной вольт-амперную характеристику активного элемента i=f(u). Посколькуdi/dt=df/du*du/dt, запишем нелинейное дифференциальное уравнение (1), характеризующее поведение автогенератора при любых режимах, в виде:

(16)

Способов точного решения таких уравнений при любой функции f(u) не существует. Приходится использовать те или иные дополнительные соображения физического характера и отыскивать приближенные решения. В данном случае сле­дует принять во внимание, что автогенератор содержит высокодобротный колебательный контур. Поэтому, несмотря на присутствие нелинейного элемента, напряжение на контуре должно мало отличаться от гармонического колебания с частотой .

Будем искать приближенное решение уравнения (16) ввиде:

(17)

предполагая амплитуду U(t) медленной функцией в том смысле, что . На этом основании в выражении первой производной

(18)

сохраним только второе слагаемое:

(19)

Таким же образом вторая производная

(20)

Подставив выражения (19) и (20) в (16) получим так называемое укороченное дифференциальное уравнение

(21)

Переход к укороченному уравнению значительно упро­щает последующие этапы анализа, так как при этом порядок дифференциального уравнения снижается на единицу.