Пример решения

Исходные данные:

а=2 м; b=2 м; с=2 м; d=2 м; M=8 кН·м; F=2 кН; q=1 кН/м.

Решение.

1. Эпюры внутренних силовых факторов

а) Определение реакции в опорах рассматриваемой балки (Рис.5.)

Рис. 5.

Реакции R₁ и R₂ могут быть определены из условия, что сумма моментов всех сил относительно любой точки на оси балки должна равняться 0. Запишем выражения для суммы моментов всех сил относительно точек 1 и 2.

Далее необходимо рассмотреть каждый участок балки в отдельности:

Участок 1.

0< x< 2 (Рис.6.)

Запишем выражения суммарного момента всех сил относительно левого и правого краев балки, откуда затем можно выразить значения для неизвестных силовых факторов (Q1 и М1) со стороны отброшенной части:

Аналогично рассматриваются последующие участки.

Участок 2.

2< x< 4 (Рис.7.)

Рис.6.	Рис.7.

Подставим в полученные выражения значения х, соответствующие границам рассматриваемого участка:

- при х=2: М2 = -8кН·м; Q2 = 2 кН;

- при х=4: М2 = -4 кН·м; Q2 = 2 кН.

Участок 3.

4< x< 6

Подставим в полученные выражения значения х, соответствующие границам рассматриваемого участка:

- при х=4: М3 = -4 кН·м; Q3 = 2 кН;

- при х=6: М3 = -2 кН·м; Q3 = 0 кН.

Участок 4.

6< x< 8

Подставим в полученные выражения значения х, соответствующие границам рассматриваемого участка:

- при х=6: М4 = -2 кН·м; Q4 = 2 кН;

- при х=8: М4 = 0 кН·м; Q4 = 0 кН.

Таким образом, эпюры внешних силовых воздействий рассматриваемой балки имеют следующий вид (рис. 8):

Рис.8.

2. Линии влияния внутренних силовых факторов в сечениях n и k.

а) Линии влияния опорных реакций (Рис. 9)

Рис. 9.

Определим величину опорных реакции R₁ и R₂ в зависимости от расстояния х из условия равенства 0 суммы всех моментов относительно любой точки на оси балки.

Так как переменная х входит в уравнения в первой степени, то линия влияния будет прямолинейной. Построим Линии влияния опорных реакций для рассматриваемой балки (Рис.10.)

Рис.10.

б) Линии влияния изгибающего момента и поперечной силы для сечения n, находящегося на расстоянии 2 от левой опоры

Мысленно разрежем балку в сечении n и отбросим левую часть. В сечении n со стороны отброшенной части действует момент M_n и сила Q_n (Рис.11).

Рис.11.

Пока груз находится левее сечения n (x< 2) суммарный момент правой части балки относительно сечения n состоит только из момента M_n и момента опорной реакции R2.

При x< 2:

Когда же груз P=1 находится правее сечения n (x> 2), суммарный момент в сечении n состоит из суммы моментов опорной реакции R₂.и силы Р=1, а также момента М_n, действующего со стороны отброшенной части.

При x> 2:

Аналогично получим выражения для силы Q_n. Поперечная сила, действующая в данном сечении, равна алгебраической сумме проекций внешних на нормаль к оси балки. Соответственно можно записать, что

При x< 2:

При x> 2:

Построим линии влияния момента и поперечной силы в сечении n (Рис.12).

Рис.12.

3. Определение внутренних усилий S (изгибающего момента или поперечной силы) в сечениях n и k по формуле влияния (8):

М_n = (-8) · (4/6) + (-2) · (4/3) + 1· 0 = -8 кН · м,

Q_n = (-8) · (-1/6) + (-2) · (2/3) + 1 · 0 = 0 кН,

М_k = (-8) · 0 + (-2) · 0 + 1 · (-2) = -2 кН · м,

Q_k = (-8) · 0 + (-2) · 0 + l · 2 = 2 кН.

Вывод: Значение усилий совпали с соответствующими усилиями на эпюре.