Проверка гипотезы о равенстве средних значений

Допустим, что целью эксперимента является нахождение (или выявление) различий между значениями определенного параметра Y в разных объектах исследования.

Пример 1: При создании нового материала (или прибора) может быть обнаружено, что значение какого-либо его параметра (твердость, содержание углерода, относительное удлинение и т.п.) отличается от значений этого же параметра у ранее созданного материала (или прибора), но это отличие незначительно. Необходимо проверить не вызвано ли это различие ошибками эксперимента.

Пример 2: На предприятии в разных условиях изготавливают изделия с одними и теми же нормируемыми номинальными параметрами. Контроль обнаруживает расхождение между средними значениями этих параметров ( и ).

Разными условиями могут быть – разное оборудование или разные технологии. Нормируемым параметром могут быть – отклонение формы, точность размеров, качество поверхности и т.п.

Для выяснения вопроса о случайном или не случайном расхождении параметров и необходимо провести две серии экспериментов, т.е. получить две выборки объемом m ₁ и m ₂ и для каждого из них подсчитать средние арифметические. Измерения должны быть независимыми, равноточными в пределах одной выборки, распределение ошибок подчиняется нормальному закону распределения.

При этом дисперсии ошибок измерений могут быть известны заранее ( и ) или неизвестны заранее.

Случай 1: Сравнение средних при известных дисперсиях.

Алгоритм:

1) подсчитываем отношение:

если , то

2) Задаем желаемую вероятность Р= 0, 9; 0, 95; 0, 99 и по ней находим t(P).

3) Если t_н> t(Р), то расхождение средних считается значимым (неслучайным) с надежностью выбора Р.

Если t_н< t(Р), то нет оснований считать расхождение средних значимым.

Случай 2: Сравнение средних при неизвестной дисперсии.

В этом случае сравнение средних производят только при добавочном предположении, что дисперсии ошибок в обоих сериях измерений одинаковы. Предположение принимается без проверки, либо проверяется гипотеза об однородности дисперсий.

Алгоритм:

1) В этом случае для каждой серии измерений (для каждой выборки объемом m ₁ и m ₂) подсчитывают средние значения и и величины эмпирических дисперсий и .

2) Подсчитываем отношение

,

где

3) Задаем желательную вероятность вывода Р.

4) Находим t(Р, к) при степенях свободы к=m₁+m₂-2