Линейные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока

Резистивный элемент. Резистивный элемент как элемент схемы соответствует элементу цепи – резистору с сопротивлением R, если последний идеализирован, то есть этот элемент учитывает необратимые потери электрической энергии и пренебрегает энергиями электрического и магнитного полей.

При синусоидальном токе, протекающем по резистив

ному элементу i(t)= I_msin(ω t + ψ _i), напряжение на его зажимах и ток связаны законом Ома:

u_R (t) = R i(t)= R I_m sin(ω t + ψ _i) = U_Rm sin(ω t + ψ _u).

Амплитудные и действующие значения тока и напряжения на резистивном элементе также связаны законом Ома:

U_Rm = RI_m, U_R = RI.

Из полученного выражения для мгновенного значения напряжения видно, что начальные фазы напряжения и тока одинаковы, то есть напряжение и ток резистивного элемента совпадают по фазе. На рис. 3.5, а представлены их временные диаграммы. При построении временных диаграмм начальная фаза тока принята положительной, ψ _i > 0.

Если синусоидальные функции времени i(t) и u(t) заменить изображающими их комплексными величинами, то закон Ома в комплексной форме запишется следующим образом:

где , - комплексные амплитуды.

Или для действующих комплексных величин

.

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, представлены на векторной диаграмме рис. 3.5, б.

Мгновенная мощность резистивного элемента

p(t) = u_R·i = U_Rm sin(ω t + ψ _u)·I_m sin(ω t + ψ _i) =

= U_Rm I_m sin²(ω t + ψ _i)= U_Rm I_m =

= .

Временная диаграмма мгновенной мощности представлена на рис. 3.5, а. Из графика хорошо видно, что вся энергия, поступающая в резистивный элемент, расходуется в нем и не возвращается генератору.

Среднее значение мгновенной мощности за время, равное периоду синусоидального тока, называется активной мощностью:

Индуктивный элемент. Идеальный индуктивный элемент с индуктивностью L учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции. В этом случае пренебрегают потерями электромагнитной энергии и наличием энергии электрического поля.

Напряжение на зажимах индуктивного элемента при протекании синусоидального тока i(t)=I_m sin(ω t + ψ _i) будет определяться:

где - индуктивное реактивное сопротивление синусоидальному току;

- амплитудное значение напряжения на индуктивном элементе;

- начальная фаза напряжения, то есть напряжение на индуктивном элементе опережает свой ток на угол π /2.

При переходе к действующим значениям имеем

В комплексной форме записи:

Для действующих комплексных значений

здесь - индуктивное реактивное сопротивление в комплексной форме записи.

На рис. 3.6, а представлена временная диаграмма тока и напряжения индуктивного элемента. На рис. 3.6, б построена векторная диаграмма для действующих комплексных значений тока и напряжения.

Угол сдвига фаз φ на векторной диаграмме показывается стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.

Мгновенная мощность индуктивного элемента может быть определена:

а) б)

Рис. 3.6

Как видно из полученного выражения, мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с частотой в два раза больше, чем частота тока. График мгновенной мощности для индуктивного элемента представлен на рис. 3.6, а. Среднее значение мгновенной мощности за период равно нулю. В те промежутки времени, когда значение мгновенного тока увеличивается, мощность имеет положительное значение, энергия передается от генератора к индуктивному элементу и накапливается в нем. Когда же мгновенный ток уменьшается, мощность имеет отрицательное значение, энергия возвращается от индуктивного элемента к генератору. Для того чтобы количественно охарактеризовать обменные процессы магнитной энергией между источником и индуктивным элементом, вводят понятие индуктивной реактивной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности:

Емкостный элемент. Идеальный емкостный элемент схемы с емкостью С учитывает только энергию электрического поля , пренебрегая при этом необратимым расходом энергии в диэлектрике и наличием энергии магнитного поля.

Ток ветви с емкостью определяется:

или

В приведенных выражениях:

-амплитудное значение напряжения на емкости;

- реактивное емкостное сопротивление синусоидальному току;

ψ _u=(ψ _i - π /2) – начальная фаза напряжения, то есть напряжение на емкостном элементе отстает от своего тока на угол π /2.

Для действующих значений:

В комплексной форме записи:

здесь - реактивное емкостное сопротивление в комплексной форме записи.

а) б)

Рис. 3.7

На рис. 3.7, а и б представлены временная и векторная диаграммы тока и напряжения емкостного элемента.

Мгновенная мощность емкостного элемента будет определяться:

Временная диаграмма мгновенной мощности построена на рис. 3.7, а. Из графика мгновенной мощности следует, что среднее значение мощности за период также, как и у индуктивного элемента, равна нулю. В те промежутки времени, когда напряжение на емкостном элементе увеличивается, конденсатор заряжается, то есть энергия поступает от генератора к элементу (мощность положительна). В те промежутки времени, когда напряжение уменьшается, емкостный элемент возвращает генератору накопленную энергию (мощность отрицательна).

Для того чтобы количественно охарактеризовать эти обменные процессы, вводят понятие реактивной емкостной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности:

Как видно из временных диаграмм (рис. 3.6, а и 3.7, а), в каждый момент времени индуктивная и емкостная мгновенные мощности находятся в противофазе. При расчете суммарной реактивной мощности значение индуктивной реактивной мощности берется положительным, а емкостной реактивной мощности - отрицательным.