Резонансные режимы в цепях синусоидального тока

Резонансным режимом в цепях синусоидального тока называется такой режим, при котором сдвиг фаз φ между входным напряжением и током равен нулю.

В цепи с последовательным соединением элементов R, L, C сдвиг фаз между входным напряжением и током определяется через сопротивления этого участка цепи:

.

Сдвиг фаз становится равным нулю при равенстве реактивных сопротивлений . Напряжения на индуктивности и емкости равны между собой (рис. 3.9, б), поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений. Входное напряжение при этом равно напряжению на активном сопротивлении.

Из условия возникновения резонансного режима следует способ его достижения. Резонанс напряжений в цепи можно получить путем изменения одной из трех величин при постоянстве двух других:

1) f=var, L=const, C=const;

2) f=const, L= var, C=const;

3) f=const, L=const, C= var.

Характеристики, показывающие изменение напряжений, тока и сдвига фаз при изменении одного из параметров, называются резонансными характеристиками.

Рассмотрим резонансные кривые при изменении частоты питающего напряжения (рис. 3.18).

Ток в цепи определяется законом Ома:

При значении частоты ω =0 емкостное сопротивление Х_С равно бесконечности и ток в цепи равен нулю. Далее, с увеличением частоты емкостное сопротивление уменьшается, а индуктивное увеличивается и ток возрастает до максимального значения при резонансе I_p=U/R. При дальнейшем увеличении частоты ток уменьшается и при ω → ∞, когда индуктивное сопротивление стремится к бесконечности, он стремится к нулю.

напряжение на индуктивности определяется выражением и форма его графика соответствует кривой зависимости тока I(ω).

При ω =0 напряжение на емкости равно сетевому напряжению U, так как сопротивление конденсатора равно бесконечности, ток в цепи отсутствует и все входное напряжение приложено к месту разрыва. При ω =ω _р напряжение на емкостном элементе равно напряжению на индуктивном элементе. При ω → ∞ напряжение емкостного элемента стремится к нулю.

В резонансной цепи комплексное сопротивление равно активному сопротивлению и имеет минимальное значение Z=R=min. Тогда ток в такой цепи, как было показано выше, будет иметь максимальное значение:

I_Р =U/Z=U/R= I_max.

В случае, если реактивные сопротивления по величине гораздо больше активного сопротивления , в режиме резонанса напряжения на индуктивном и емкостном элементах могут во много раз превышать входное напряжение:

.

Соотношение напряжений в резонансном режиме определяется величиной добротности Q контура, понятие которой вводится, исходя из следующих соображений:

,

где Q – добротность цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R, L, C, значение которой может достигать десятков и сотен единиц.

При изменении частоты от 0 до ω _р угол сдвига фаз φ между напряжением и током изменяется от (-π /2) до 0. При изменении частоты от ω _р до ∞ угол φ возрастает от 0 до π /2.

В цепи с параллельным соединением элементов R, L, C сдвиг фаз между входным напряжением и током определяется через проводимости участка цепи:

.

Сдвиг фаз будет равен нулю при равенстве реактивных составляющих проводимостей: или , что и будет являться условием резонанса токов. В резонансном режиме токи индуктивного I_L=b_LU и емкостного I_C=b_CU элементов равны, так как равны реактивные составляющие проводимостей . Эти токи находятся в противофазе и их сумма равна нулю. Тогда входной ток будет равен току активного элемента и иметь минимальное значение I=I_R=gU.

Входной ток цепи определяется согласно первому закону Кирхгофа:

Ток активного сопротивления от частоты питающего напряжения не зависит и будет всегда неизменным.

При частоте равной нулю ток емкости равен нулю, так как конденсатор представляет собой разомкнутый участок цепи, а ток идеальной катушки стремится к бесконечности, так как при нулевой частоте катушки представляет собой короткозамкнутый участок. Входной ток при этой частоте равен току катушки и также стремится к бесконечности.

При частоте равной резонансной ω _рез действующие значения емкостного и индуктивного токов равны. А так как эти токи находятся в противофазе, то их векторная сумма равна нулю и входной ток равен току активного элемента и имеет минимальное значение.

При дальнейшем увеличении частоты проводимость емкостного элемента увеличивается, а проводимость индуктивного элемента уменьшается. Входной ток увеличивается за счет возрастания реактивной составляющей.

При частотах меньше резонансной ω < ω _рез угол сдвига фаз больше нуля φ > 0, так как преобладает индуктивная составляющая проводимости. При частоте равной резонансной ω =ω _рез реактивные составляющие проводимостей равны и угол сдвига фаз равен нулю φ =0. При частотах больше резонансной ω > ω _рез угол сдвига фаз меньше нуля φ < 0 и стремится к значению -π /2, так как преобладает емкостная составляющая проводимости.