Теоретическое введение.

Вращательным движением твердого тела называется такое движе­ние, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центром на одной прямой, называемую осью вращения.

Для описания вращательного движения используют следующие кинематические величины: вектор углового перемещения , вектор угловой скорости и вектор углового ускорения .

Угловое перемещение – это вектор, модуль которого равен углу поворота радиус-вектора, определяющего положение материальной точки, вращающейся вокруг оси, относительно этой оси. Он лежит на оси вращения и направлен так, что из его конца наблюдаемое движение материальной точки происходит против часовой стрелки (см. рис. 1).

Рис.1.

Угловой скоростью называется векторная величина равная

Она дает быстроту изменения вектора углового перемещения с течением времени. Как и вектор угловой скорости лежит на оси вращения, и направление его определяется также как и направление вектора углового перемещения.

Быстроту изменения вектора угловой скорости характеризуют величиной

,

называемой угловым ускорением. Этот вектор также лежит на оси вращения. Если возрастает по величине, то направление совпадает с направлением , если же убывает, противоположен вектору (На рис.1 представлен второй случай).

Вращение тела вокруг оси начинается под действием силы. При этом тело придет во вращение только в случае, если сила лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения и линия действия силы не проходит через ось вращения. Если сила параллельна оси, то тело будет двигаться с ускорением вдоль этой оси, не совершая вращения. Если сила направлена под некоторым произвольным углом к оси, то ее разлагают на две составляющие: - параллельную оси вращения и - лежащую в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Вращения будет происходить лишь под действием составляющей

Если вращение тела начинается под действием силы , лежащей в плоскости перпендикулярной оси вращения (в противном случае следует рассматривать составляющую ), то способность силы вызывать вращение вокруг оси характеризуют физической величиной , называемой моментом силы относительно оси или вращательным моментом. Определяют как векторное произведение радиус-вектора , проведенного от оси вращения в точку приложения силы, на вектор силы .

. (1)

В соответствии с определением векторного произведения вектор направлен по оси вращения, а векторы образуют правовинтовую систему. Если совместить параллельным переносом одного из векторов или их начала, то движение от конца к концу , наблюдаемое из конца вектора , должно происходить против часовой стрелки). Раскрыв векторное произведение получим следующее выражение для модуля вектора

.

Из рис. 2 видно (ось вращения проходит через точку О перпендикулярно рисунку), что . - длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения к линии действия силы. Эту величину называют плечом силы. Таким образом . (2)

Под действием тело вращается с угловым ускорением . Связь между этими величинами устанавливает основной закон динамики вращательного движения, который гласит: угловое ускорение, с которым вращается тело под действием вращательного момента, прямо пропорционально этому вращательному моменту. То есть . (3)

В этой формуле играет роль коэффициента пропорциональности, характеризующего тело при вращении его вокруг данной оси. Величину называют моментом инерции тела относительно данной оси.

Замечание. Если на тело действует несколько сил, то под следует понимать векторную сумму моментов всех сил, действующих на тело.

Момент инерции тела является мерой инертности тела при враща­тельном движении тела и для материальной точки относительно некото­рой оси вращения равен , где r - расстояние от оси вращения до материальной точки. Если тело не является материальной точкой, то его момент инерции относительно любой оси вращения равен сумме моментов инерции (относительно этой оси) всех материальных точек, на которые можно разбить это тело, т.е. (свойство аддитивности момента инерции). Таким образом, момент инерции тела зависит не только от массы тела, а в боль­шей степени от распределения массы тела относительно оси вращения (см. рис. 3).

Для однородных тел правильной геометрический формы можем легко провести интегрирование по всему объёму и вычислить момент инерции тела. (См. И. В. Савельева, Курс физики, т. 1, §39).

Если ось вращения проходит через центр масс, то для следующих однородных тел имеем: однородный шар ; тонкий диск, ось вращения перпендикулярна плоскости диска ; кольцо (труба), ось вращения перпендикулярна плоскости кольца ; тонкий стержень, ось вращения перпендикулярна длине стержня

В случае, когда ось вращения не проходит через центр масс, для расчета момента инерции тела используется теорема Штейнера.