Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Числовые ряды с положительными членами. Признак Даламбера.
Признак сходимости Даламбера Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились. Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос: Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовойпредельный признак сравнения . Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:1) В знаменателе находится многочлен. 2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе. 3) Один или оба многочлена могут быть под корнем. Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие: 1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , , и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует. 2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на уроке Числовая последовательность и её предел. Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку: ! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби. 3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6. Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера. Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-тоиз рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера. Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то: У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к уроку Пределы. Примеры решений. Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность дальше, к сожалению, не продвинуться.
Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Признак Даламбера.
Теорема. Рассмотрим ряд с положительными членами и предел отношения последующего члена ряда к предыдущему. 1) Если 2) существует , тогда Доказательство: то есть . Рассмотрим 3 случая: 1) Выберем столь малым, чтобы значение тогда, полагая , при значении имеем для . и так далее. Члены ряда меньше членов геометрической прогрессии: Так как , то ряд (2) сходится, значит, по теореме сравнения сходится и ряд (1). 2) Возьмем столь малым, что тогда при члены ряда не не выполняется необходимый признак сходимости ряд расходится. 3) Покажем, что в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. 1) гармонический ряд расходится, для него 2) Рассмотрим ряд Для него Сравним члены исследуемого ряда со сходящимся рядом (доказано ранее). Значит, сходится.
|