Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Рассмотрим важный класс рядов, называемый знакочередующимися.

Определение.Знакочередующимся рядомназывается ряд вида

u1 – u2 + u3 - u4 +…+(-1) un +...,

где u1, u2, u3..., - положительные для всех n N.

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА). Знакочередующийся ряд

u1 – u2 + u3 - u4 +… (un> 0), (4.1)

сходится, еслипоследовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. u1> u2> u3> … (4.2)

и если un=0 (4.3)

при этом сумма S ряда(4.1) удовлетворяет неравенствам 0< S < u1.

Для остатка ряда в этом случае справедлива оценка .

ПРИМЕР.Исследовать сходимость ряда:

Имеем: 1> 1/4> 1/9>...– члены ряда монотонно убывают и =0.

По Теореме Лейбница ряд сходится.

Замечание: В Т.Лейбница важны как условие un=0, так и u1> u2> u3>...

Например, для ряда un=0, но условие

1/ 0, 41> 1/2, 41 > 1/1, 73 > 1/2, 73... или

2, 44> 0, 41> 0, 58> 0, 37... неверно и ряд расходится.

ПРИМЕР.Вычислить приблизительно сумму ряда .

Имеем знакочередующийся ряд, сходится.Возьмем пять элементов этого ряда:

,

Вычислим ошибку: ; итак, .