Понятие о дифференциальном уравнении. Задача Коши

Определение 1. Уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Определение 2. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид

F(x, y, y ', y '', …, y ⁽ⁿ⁾)=0.

Определение 3. Дифференциальное уравнение n -го порядка называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в него в первой степени. Общий вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка:

a ₀ (x)y ⁽ⁿ⁾ + a ₁ (x)y ^(n-1) +... + a _n-1 (x)y ⁽¹⁾ + a _n (x)y = f(x). (1)

Определение 4. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным, если f(x) º 0, и неоднородным - в противном случае.

Примеры дифференциальных уравнений:

y'' - sin x y' + ( cos x) y = tg x - линейное,

sin y' - cos y = ctg x - нелинейное,

y''' - y' = 0- линейное,

(y ^IV ) ² - 3 y''' + y = 1 - нелинейное.

Определение 5. Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = j(x), при подстановке которой в уравнение будет получено тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, график решения называют интегральной кривой.

Пример 1. y' - f(x) = 0, Пример 2. y'' = 0,

y' = f(x), y' = C,

y = ò f(x)dx + C. y = C ₁ x + C ₂.

Определение 6. Решение дифференциального уравнения n -го порядка, содержащее n произвольных постоянных, называется общим решением дифференциального уравнения.

Определение 7. Если в результате интегрирования дифференциального уравнения получена зависимость между y и x, из которой не удается явно выразить y через x (т.е. неизвестная функция задана неявно), то данную зависимость называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 8. Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример. y'' + y = 0.

y = C ₁cos x + C ₂sin x - общее решение.

у ₁ = 3cos x -2sin x - частное решение.