Конвективный теплообмен.

Дифферинциальное уравнение конвективного теплообмена. Уравнение сплошности.

Уравнение неразрывности или сплошной жидкости основано на законе сохранения массы и исходит из положения механики сплошных сред о том, что в нутрии движущейся жидкости не может произойти разрыв, т. е. установится пустота.

Уравнение неразрывности может быть представлено в дифференциальной форме для частицы жидкости и элементарной струйки, а также в конечных величинах для потока жидкости.

Выделим в потоке элементарный объем. Рассмотрим изменение протекающей массы жидкости по оси Ox. Скорость жидкости вытекающей через левую грань Ux, тогда скорость вытекающей через правую Принимая Б=const, можно записать, что через0 левую грань за время dt пройдет масса

;

(где Uxdt=dx; )

А через правую

Разность этих масс составит

Рассматривая по аналогии изменение массы жидкости по осям Oy и Oz, запишем и

Закон сохранения массы требует, чтобы общее изменение массы, прошедшей через выбранный объем, равнялось нулю

=0

Или (4.3)

Уравнение (4.3) называется уравнением неразрывности или сплошности в дифференциальной форме для произвольного движения не6сжимаемой жидкости.

При установившемся движении уравнение неразрывности можно вывести исходя из свойств элементарной струйки, в соответствии с которым жидкость из струйки не вытекает в стороны и не притекает в нее извне, но в то же время местные скорости разные по длине струйки. Отсюда следует, что количество жидкости, притекающей к струйке в начальном сечении и вытекающей из нее в конечном сечении, равны между собой и общий объем жидкости в струйке не изменяется т. е. элементарные расходы в единицу времени:

втекает ,

вытекает и тогда (4.4)

Выражение (4.4) и является уравнением неразрывности для элементарной струйки.

Для потока жидкости уравнение неразрывности будет иметь вид:

или

Т. е. отношение средних скоростей в сечениях потока обратно пропорционально отношению их площадей. Из этого следует, что при установившемся сечении с уменьшением площади сечения средняя скорость увеличивается и наоборот.

Гидродинамические и тепловые погроничные слои.

Гидродинамический пограничный слой. Рассмотрим продольное обтекание плоской поверхности тела безграничным потоком жидкости. Скорость и температура набегающего потока постоянны и равны соответственно ω ₀ и t₀. При соприкосновении частиц жидкости с поверхностью тела они «прилипают» к ней. В результате в области около пластины вследствие действия сил вязкости образуется тонкий слой заторможенной жидкости, в пределах которого скорость изменяется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущенного потока (вдали от тела). Этот слой заторможенной жидкости получил название гидродинамического пограничного слоя. Теория гидродинамического пограничного слоя впервые дана Л. Прандтлем (1904 г.). Чем больше расстояние х от передней кромки пластины, тем толще пограничный слой, так как влияние вязкости по мере движения жидкости вдоль тела все дальше проникает в невозмущенный поток. Эта особенность пограничного слоя иллюстрируется рис. 4.6, на котором представлены распределения скорости при различных значениях х.

Рис. 4.6. Изменение скорости в гидродинамическом пограничном слое.

Для течения жидкости внутри пограничного слоя справедливо условие ∂ ω _x/∂ y≠ 0, вне пограничного слоя и на его внешней границе: ∂ ω _x/∂ y=0 и ω _x=ω ₀. Понятия «толщина пограничного слоя» и «внешняя граница пограничного слоя» довольно условны, так как резкого перехода от пограничного слоя к течению вне слоя нет. Скорость в пограничном слое по мере увеличения у асимптотически стремится к ω ₀. Поэтому под толщиной пограничного слоя δ подразумевается такое расстояние от стенки, на котором скорость будет отличаться от скорости потока вдали от тела на определенную заранее заданную малую величину ε < < 1 (например на 1%): при у=δ ω _x= (1—ε)ω ₀. Таким образом, при омывании тела поток жидкости как бы разделяется на две части: на пограничный слой и на внешний поток. Во внешнем потоке преобладают силы инерции, вязкостные силы здесь не проявляются. Напротив, в пограничном слое силы вязкости и инерционные силы соизмеримы. Тогда можно написать следующую систему дифференциальных уравнений, описывающих стационарное поле скоростей при омывании плоской пластины, бесконечной в направлении оси Oz. Уравнения движения (4.23) и (4.24):

(4.25) - уравнение сплошности. Рассмотрим возможности упрощения для пограничного слоя записанной системы дифференциальных уравнений и наметим границы справедливости упрощенной записи. Ввиду малости толщины пограничного слоя принимают, что поперек него давление не изменяется, т. е. ∂ p/∂ у=0. При омывании плоской поверхности неограниченным потоком, когда во внешнем течении скорость постоянна и равна ω ₀, из уравнения Бернулли

следует, что во внешнем потоке не изменяется и давление. Тогда ∂ p/∂ x=0 (такое течение в гидродинамике часто называют «безградиентным течением»). Условия ∂ p/∂ у=0 для пограничного слоя и ∂ p/∂ x=0 для внешнего течения приводят к выводу, что производная ∂ p/∂ x равна нулю и в области пограничного слоя (в рассматриваемом случае). Скорость ω _x изменяется от нуля до ω ₀, порядок величины ω _x оценим как ω ₀. Для продольной координаты возьмем масштаб . Тогда (О — обозначение порядка данной величины)

Согласно уравнению сплошности (4.25) порядок производных ∂ ω _x/∂ x и ∂ ω _x/∂ y одинаков. Отсюда выражение (*), где δ — порядок поперечной координаты у для пограничного слоя. Порядок величины ω _y при этом может быть оценен как (**). Оценим отдельные члены инерционной (конвективной) и вязкостной частей уравнения движения в проекциях на ось Ох:

Тепловой пограничный слой. Аналогично понятию гидродинамического пограничного слоя Г. Н. Кружилиным было введено понятие теплового пограничного слоя (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Изменение температуры в тепловом пограничном слое.

Тепловой пограничный слой — это слой жидкости у стенки, в пределах которого температура изменяется от значения, равного температуре стенки, до значения, равного температуре жидкости вдали от тела. Для области внутри теплового пограничного слоя справедливо условие ∂ t/∂ y≠ 0, а на внешней границе и вне его (точнее, при y=k t=(1—ε)t₀, где ε < < 1, так как температура t должна асимптотически стремиться к значению t₀) ∂ t/∂ y=0 и t=t₀. Таким образом, все изменение температуры жидкости сосредоточивается в сравнительно тонком слое, непосредственно прилегающем к поверхности тела. В гл. 7, рассматривая теплоотдачу при обтекании плоской поверхности неограниченным потоком жидкости, мы выясним условие, при котором выполняется неравенство , где k — толщина теплового пограничного слоя. Толщины гидродинамического и теплового пограничных слоев δ и k в общем случае не совпадают — это зависит от рода жидкости и некоторых параметров процесса течения и теплообмена. Будем полагать, что они одного порядка: k=O(δ). Ввиду малости толщины теплового граничного слоя можно пренебречь теплопроводностью вдоль слоя по сравнению с поперечным переносом теплоты, т. е. положить

Тогда для рассматриваемого случая уравнение энергии примет вид (4.30). Учитывая, что q_y=—λ (∂ t/∂ y) и, следовательно λ (∂ ²t/∂ y²) =—∂ q_y/∂ y, правую часть уравнения (4.30) можно представить в виде Чтобы замкнуть задачу, к уравнению (4.30) необходимо добавить уравнение движения (4.28) и уравнение сплошности (4.29). Напомним, что система дифференциальных уравнений (4.28), (4.29) и (4.30) получена для стационарного безградиентного омывания плоской поверхности жидкостью с постоянными физическими свойствами; в жидкости отсутствуют внутренние источники теплоты, выделение тепла трения пренебрежимо мало. Заметим, что при принятых здесь условиях поле скоростей не зависит от поля температур. Своеобразно строится пограничный слой в случае свободного теплового течения, вызванного разностью плотностей более и менее нагретых частиц жидкости. Данное ранее определение пограничных слоев остается справедливым и для свободного движения. Однако во многих случаях скорость вдали от тела, у которого возникло свободное движение, равна нулю. На рис. 4.8 приведено примерное распределение температур и скоростей в определенном сечении свободного потока у горячего тела. В данном случае толщины теплового и гидродинамического слоев также могут не совпадать. При свободном тепловом движении (ω ₀=0) в дифференциальном уравнении движения (4.28) должен быть учтен член gβ θ. В этом случае поле скоростей неразрывно связано с полем температур (теплообменом).

Рис. 4.8. Гидродинамический и тепловой пограничные слои при свободном движении.

Форма и размеры поверхности теплообмена существенно влияют на теплоотдачу. В зависимости от этих факторов может резко меняться характер обтекания поверхности, по-иному строится пограничный слой. В технике имеется большое многообразие поверхностей нагрева. Каждая такая поверхность создает специфические условия движения и теплоотдачи. Известно, что имеются два основных режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме частицы жидкости движутся без перемешивания, слоисто; при турбулентном — неупорядоченно, хаотически, направление и величина скорости отдельных частиц беспрестанно меняются Эти режимы течения наблюдаются и в пограничном слое. При малых значениях x течение в пограничном слое может быть ламинарным. По мере увеличения х толщина пограничного слоя возрастает, слой делается неустойчивым и течение в пограничном слое становится турбулентным. Как будет показано в дальнейшем, теплоотдача существенно зависит от режима течения. Полученная нами система дифференциальных уравнений (4.28) — (4.30) описывает теплообмен только в ламинарном пограничном слое.