Метод Гаусса.

Преобразования, допустимые в методе Гаусса:

1. Смена мест двух строк;

2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.

3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

4. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

5. Вычеркивание повторяющихся строк.

Насчет последних двух пунктов: повторяющиеся строки можно вычёркивать на любом этапе решения методом Гаусса, – естественно, оставляя при этом одну из них. Например, если строки №2, №5, №6 повторяются, то можно оставить одну из них, – например, строку №5. При этом строки №2 и №6 будут удалены.

Нулевые строки убираются из расширенной матрицы системы по мере их появления.

Отмечу, что можно менять местами и столбцы матрицы системы, хоть применяется это преобразование нечасто. Например, смена мест первого и третьего столбцов матрицы системы означает, что переменные x1 и x3 поменялись местами во всех уравнениях.

Во всех примерах A обозначает матрицу системы, A˜ – расширенную матрицу системы. О матричной форме записи СЛАУ можно прочесть здесь.

Пример №1

Решить СЛАУ {x1+2x2=11; 3x1− x2=12. методом Гаусса.

Решение

Это вводный пример, в котором поясняются самые простые понятия, лежащие в основе метода Гаусса. В следующем примере применение метода Гаусса будет разобрано пошагово.

Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения. Метод Гаусса, по сути, и представляет собой формализированный метод сложения. Для начала избавимся от переменной x1 во втором уравнении. Для этого из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на 3:

3x1− x2− 3⋅ (x1+2x2)=12− 3⋅ 11; 3x1− x2− 3x1− 6x2=12− 33; − 7x2=− 21.

Обычно первое уравнение системы обозначают римской цифрой I, а второе уравнение – римской цифрой II. И фразу " из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на 3" записывают коротко: II− 3⋅ I. Заметьте, первое уравнение системы мы не изменяли. Мы затронули лишь второе уравнение, поэтому исходная система станет такой:

{x1+2x2=11; − 7x2=− 21.

Разделив обе части второго уравнения − 7x2=− 21 на (-7) имеем: x2=− 21− 7=3. Сокращённо деление обеих частей второго уравнения на (-7) записывают так: II: (− 7). При этом система примет вид:

{x1+2x2=11; x2=3.

Переменная x2 найдена. Осталось определить значение переменной x1. Для этой цели преобразуем первое уравнение, убрав из него переменную x2. Вычтем из первого уравнения второе уравнение, предварительно умноженное на 2 (т.е. выполним действие I− 2⋅ II). Первое уравнение станет таким:

x1+2x2− 2⋅ x2=11− 2⋅ 3; x1=11− 6=5.

Итак, {x1=5; x2=3.

Ответ найден. Запишем то же решение, но уже без промежуточных пояснений. Решение методом Гаусса заданной СЛАУ будет иметь вид:

{x1+2x2=11; 3x1− x2=12.II− 3⋅ I⇒ {x1+2x2=11; − 7x2=− 21.II: (− 7)⇒ {x1+2x2=11; x2=3.I− 2⋅ II⇒ {x1=5; x2=3.

Однако такая форма записи неудобна. Гораздо удобнее работать с матричной формой записи. Запишемрасширенную матрицу заданной системы: (132− 11112). Когда мы вычитаем или складываем уравнения, то, по сути, мы складываем или вычитаем строки этой матрицы. В матричной форме записи метод Гаусса станет таким:

(132− 11112)II− 3⋅ I→ (102− 711− 21)II: (− 7)→ (1021113)I− 2⋅ II→ (100153)

Отсюда имеем: x1=5, x2=3. Обратите внимание, что от матричной формы записи всегда можно перейти к уравнениям и наоборот. Например, вторая строка матрицы (102− 711− 21) соответствует уравнению 0⋅ x1− 7⋅ x2=− 21, − 7x2=− 21.

Система решена, однако прочувствовать суть метода Гаусса на таком простом примере несколько затруднительно, посему перейдем к решению неоднородных СЛАУ с тремя (пример №2) и четырьмя (пример №3) неизвестными.

Основные понятия теории вероятностей.

Классификация событий на возможные, вероятные и случайные. Понятия простого и сложного элементарного события. Операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события и её свойства. Элементы комбинаторики в теории вероятностей. Геометрическая вероятность. Аксиомы теории вероятностей.
Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.
Примеры событий:

– попадание в цель при выстреле из орудия (опыт — произведение выстрела; событие — попадание в цель);
– выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монеты (опыт — трёхкратное бросание монеты; событие — выпадение двух гербов);
– появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели (опыт — измерение дальности; событие — ошибка измерения).

Можно привести бесчисленное множество подобных примеров. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита

A, B, CA, B, C

и т.д.

Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие

AA

— выпадание трех очков на первой игральной кости, событие

BB

— выпадание трех очков на второй кости.

AA

и

BB

— совместные события. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие

AA

— наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие

BB

— коробка окажется с обувью коричневого цвета,

AA

и

BB

— несовместные события.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным.

Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера.

AA

— появление красного шара при одном извлечении,

BB

— появление белого шара,

CC

— появление шара с номером. События