Теплопроводность стержня (ребра) постоянного поперечного сечения

Пусть стержень имеет площадь сечения f, периметр U и находится в среде с постоянной температурой жидкости , постоянен по всей поверхности.

Коэффициент достаточно велик, и температура по сечению постоянна

( изменяется только вдоль).

- избыточная температура.

- температура основания стержня

Уравнение теплового баланса для элемента dx:

, Вт.

По закону Фурье:

По закону Ньютона-Рихмана:

; , если и постоянны, значит и m постоянен.

Решение дифференциального уравнения в виде общего интеграла будет иметь следующий вид:

, и находятся из граничных условий.

Стержень бесконечной длины.

х=0, ,

, =0.

;

.

При =0, .

Таким образом, или .

Количество тепла, передаваемое стержнем в окружающую среду, будет равняться количеству тепла, проходящему через его основание.

;

Продифференцируем =>

,

т.е. .

Стержень конечной длины.

Дифференциальное уравнение и решение сохраняет силу, но граничные условия будут другими.

х=0, ,

x= , - количество тепла, отводимое от торца стержня за счет теплопроводности.

- количество тепла, подводимое к торцу стержня за счет теплопроводности.

Если пренебречь теплоотдачей с конца стержня, граничные условия будут:

х=0, ,

x= , =0 и .

Определим и из уравнения при

х=0, ,

x= , = .

;

.

.

Умножим и разделим на :

.

Известно, что ; .

.

При x=l:

.

- количество тепла, проходящее через основание ребра, равно количеству тепла в окружающее среду.

Дифференцируем уравнение :

.

.

Так как , следовательно

.

Если , то и .

, тогда

- бесконечный стержень.