Построение областей устойчивости

Частотный критерий Найквиста основывается на частотных характеристиках разомкнутой цепи САУ и дает правило, согласно которому по виду АФЧХ разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Допустим, дана передаточная функция разомкнутой цепи .

Предполагаем, что система устойчива в разомкнутом состоянии. При подстановке чисто мнимого значения получаем АФЧХ разомкнутой цепи.

Ее смысл можно объяснить следующим образом. Представим систему управления в разомкнутом состоянии в виде некоторого звена с передаточной функцией W(s). Если на вход этой системы подать сигнал в виде гармонических колебаний с амплитудой и частотой w, то в установившемся режиме на выходе регулируемая величина будет изменяться тоже по гармоническому закону:

с амплитудой , той же частотой и фазовым сдвигом j.

Модуль частотной передаточной функции (АФЧХ) представляет собой отношение амплитуд выходной и входной величин , а аргумент – сдвиг фаз j.

Если изменять частоту входного воздействия от -¥ до +¥ и откладывать на комплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, то ГМТ образует АФЧХ разомкнутой системы.

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию , где числитель – характеристический многочлен замкнутой системы, а знаменатель – характеристический многочлен разомкнутой цепи этой системы. Подставив , получим .

По критерию Михайлова, изменение аргумента при равно , т.к. предполагаем, что система устойчива в разомкнутом состоянии.

С другой стороны требуется, чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы изменение аргумента

Отсюда можно сделать вывод, что

Это значит, что годограф не должен охватывать начало координат.

Вернемся к функции , которая есть АФЧХ разомкнутой цепи. Отсюда получаем следующую формулировку критерия Найквиста.

Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой цепи не охватывала точку (-1, i0).

Построение областей устойчивости

D-разбиение

При расчете и проектировании системы автоматического управления иногда бывает целесообразно исследовать влияние ее различных параметров на устойчивость. Для решения подобной задачи служит построение областей устойчивости, т.е. определение таких областей значений параметров, в которых система устойчива.

Области устойчивости можно строить в плоскости одного параметра, а также в плоскости двух и трех параметров.

Мы рассмотрим построение области устойчивости в плоскости двух параметров. Для построения области устойчивости на плоскости параметров А и В необходимо нанести линии, соответствующие границе устойчивости. Область, ограниченная этими линиями, и будет областью устойчивости. Чтобы окончательно в этом убедиться нужно для любой точки, лежащей внутри полученной области, по одному из критериев проверить устойчивость. Если устойчивость для этой точки будет иметь место, то она будет выполняться и для всех точек, лежащих в этой области.

Для построения границ области устойчивости используем все три признака существующих типов границ устойчивости. Для границы устойчивости первого типа (нулевой корень) это будет равенство нулю , где - свободный член характеристического уравнения. Для границы устойчивости третьего типа – равенство (коэффициента при старшем члене характеристического полинома (многочлена)).

Для получения условия, соответствующего границе устойчивости второго типа (колебательной), можно использовать различные критерии.

Для систем - можно применить критерий Гурвица. В том случае колебательной границе устойчивости соответствует , где - соответствует определителю Гурвица.

Для уравнения любого порядка подходит критерий Михайлова.

Если же мы ищем границу устойчивости для системы любого порядка, мы можем использовать критерий Михайлова.

Колебательной границе устойчивости (пара чисто мнимых корней) соответствует равенство нулю характеристического комплекса (т.е. прохождение кривой Михайлова через начало координат).

Если два параметра, на плоскости которых строится область устойчивости, линейно входят в характеристический комплекс, тогда для границы устойчивости колебательного типа уравнение распадется на два:

Здесь величина w дает значение чисто мнимого корня, т.е. частоту гармонических колебаний системы.

Два последних уравнения – параметрические уравнения границы устойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности действительных частей всех остальных корней, кроме чисто мнимых.

Полная совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающих всю плоскость на области с различным распределением корней, называется D-разбиением плоскости параметров. Практическое значение имеет лишь часть кривых D-разбиения, соответствующих границе устойчивости.

(Решив совместно уравнения, определяющие границу устойчивости, относительно параметров А и В, можно, задаваясь различными значениями w, в пределах от 0 до ¥, по точкам построить кривую D-разбиения))

Чтобы выделить границу устойчивости из всего комплекса кривых D-разбиения, необходимо штриховать эти кривые по следующему правилу.

Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения w надо штриховать ее с левой стороны, если будет положительным определитель, составленный из частных производных

Если же определитель (в некоторых источниках называется «Якобиан» или определитель Якоби) отрицателен, то кривая штрихуется справа. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен от оси абсцисс вправо, а параметр В – по оси ординат вверх.

Пример. Рассмотрим на примере системы 3-го порядка, уже рассматриваемой ранее.

Характеристическое уравнение (или характеристический многочлен)

Характеристический комплекс

Уравнения границы устойчивости

Решая их совместно относительно параметров А, В получим выражения

Строим кривую границы устойчивости

Если при движении по каждой кривой D-разбиения в сторону увеличения w

D> 0, штрихуется область слева от кривой

D< 0, штрихуется область справа от кривой

Чтобы определить границы устойчивости, можно прибегнуть и к критерию Гурвица:

Границы устойчивости: